1.3 Raíces en intervalo – Ejemplos

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Ejemplo 1 . Raíces en intervalo

Referencia:  Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 2 p11, pdf 21; Burden 9Ed p8

Para la expresión mostrada encuentre una solución en el intervalo [0,1],

x^5 -2x^3 + 3x^2 -1 = 0

considere nombrar a la parte izquierda de la ecuación como f(x), para encontrar la solucion como f(x) = 0.

f(x) = x^5 -2x^3 + 3x^2 -1

dado que al evaluar en los extremos del intervalo [0,1]:

f(0) = (0)^5 -2(0)3 + 3(0)^2 -1 = -1 f(1) = 1^5 -2(1)^3 + 3(1)^2 -1 = 1

Los valores de la función en los extremos son -1 y 1, existe cambio de signo, y dado que f es contínua, por el teorema del valor intermedio existe un valor de x en el intervalo, tal que se satisface que el valor de la función es cero.

La gráfica de la ecuación muestra el punto o raíz a buscar:

Se pueden dividir en muchas muestras el intervalo x=[a,b] y buscar los puntos xi donde la funcion f(xi) cambia de signo.

Usando un algoritmo con muestras = 1001 se encuentra que existen dos puntos donde se encuentra la raiz.

raiz entre posiciones i:  [ 479.  480.]
entre los valores: 
 [ xi, fi]
[[ 0.7185     -0.00162876]
 [ 0.72        0.00219576]]

Algoritmo en Python

En el intervalo [a,b] se crean nuevos puntos de muestras para realizar la gráfica. Las muestras se usan para buscar un nuevo intervalo entre x[i] y x[i+1] donde ocurre un cambio de signo en f(x[i]).

# Burden Capítulo 1.1 Ejemplo 2 p11, pdf 21
# raices del polinomio en [a,b]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

funcionx = lambda x: x**5 - 2*(x**3) + 3*(x**2) -1

# INGRESO
a = 0
b = 1.5
muestras = 1001

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = funcionx(xi)

# Busca cambios de signo
donde=[] # donde[i,xi,fi]
for i in range(0,muestras-1,1):
    antes = fi[i]
    despues = fi[i+1]
    signo = (np.sign(antes))*(np.sign(despues))
    if (signo<0):
        donde.append([i,xi[i],antes])
        donde.append([i+1,xi[i+1],despues])
        
donde = np.array(donde)
  
# SALIDA
print('raiz entre posiciones i: ', donde[:,0])
print('entre los valores: ')
print(' [ xi, fi]')
print(donde[:,1:])
      
# GRAFICA
plt.plot(xi,fi)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('fx')
plt.axhline(y=0, color='g')
plt.show()

Al observar los resultados, realice sus comentarios y recomendaciones relacionadas con la respuesta obtenida para mejorar la respuesta

Usando Scipy.Optimize

Continuando con el uso de funciones de scipy se obtiene una de las raices, empezando la búsqueda desde 0.4.

raiz en :  [ 0.71913933]
>>>

para la otra raíz usar un nuevo punto de partida. Compare respuestas con el método anterior.

las instrucciones usadas son:

# Burden Capítulo 1.1 Ejemplo 2 p11, pdf 21
# raices del polinomio en [a,b]

import numpy as np
import scipy.optimize as opt

fx = lambda x: x**5 - 2*(x**3) + 3*(x**2) -1

# INGRESO
a  = 0
b  = 1.5
x0 = 0.4

# PROCEDIMIENTO
# fx pasa por cero, cerca de x0
donde = opt.fsolve(fx,x0)
  
# SALIDA
print('raiz en : ', donde)

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Ejemplo 2 . Raíces en intervalo

Referencia: Burden 7Ed cap1.1 Ejercicio 1.  p15, pdf 25; Burden 9Ed p15

Demuestre que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solución en los intervalos dados

x \cos (x) - 2 x^{2} + 3 x -1 = 0

en el intervalo [0.2, 0.3] y [1.2, 1.3]

2.1 Desarrollo analítico

Del «teorema del valor intermedio«, si hay cambio de signo al evaluar la función en los puntos x=0.2 y x=0.3, debe existir un punto c donde se cumple la expresión.

f(x) = x \cos (x) - 2 x^{2} + 3 x -1 f(0.2) = 0.2 \cos (0.2) - 2 (0.2)^2 +3(0.2) -1 = -0.2839 f(0.3) = 0.2 \cos (0.3) - 2 (0.3)^2 +3(0.3) -1 = 0.00660094

Hay cambio de signo de la función en el intervalo, por lo que la ecuación debe pasar por cero, y se cumple la igualdad.

2.2 Desarrollo numérico con Python

Por simplicidad se usa la ventana iteractiva. Se evalúa la función en los puntos extremos del intervalo y con los resultados se continúa de forma semejante a la sección de desarrollo analítico.

>>> import numpy as np
>>> fx = lambda x: x*np.cos(x) - 2*(x**2) + 3*x -1
>>> fx(0.2)
-0.28398668443175157
>>> fx(0.3)
0.0066009467376817454

es decir, por cambio de signo, debe haber un cruce por cero de la función en el intervalo.

2.3 Desarrollo con gráfica

Como existen varios intervalos, [0.2, 0.3] y [1.2, 1.3] se unifican los intervalos entre los extremos x=[0.2, 1.3].

Para la gráfica se crean 100 tramos (pasos o divisiones) en el intervalo que equivalen a 101 muestras en el intervalo

>>> muestras=101
>>> xi = np.linspace(0.2,1.3,muestras)
>>> fi = fx(xi)
>>> xi
array([ 0.2 , 0.211, 0.222, 0.233, 0.244, 0.255, 0.266, 0.277, ... 1.256, 1.267, 1.278, 1.289, 1.3 ])
>>> fi
array([-0.28398668, -0.24972157, -0.21601609, -0.18287411, -0.15029943, ...,  -0.13225152])

Una gráfica permite observar mejor la función en el intervalo.
Se necesita llamar a la librería matplotlib.pyplot que se resume como plt.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(xi,fi)
[<matplotlib.lines.Line2D object at 0x0000020C67820E80>]
>>> plt.axhline(0,color='g')
<matplotlib.lines.Line2D object at 0x0000020C678204E0>
>>> plt.show()

plt.plot() crea la gráfica con los vectores xi y fi , añadiendo como referencia en este caso una linea horizontal que pasa por cero, usando plt.axhline(). Finalmente se muestra la gráfica con plt.show().

De la gráfica, fácilmente se puede observar que existen dos puntos «c» que cumplen con la igualdad y que se encuentran en los intervalos de evaluación, con lo que se comprueba que existe solución en los intervalos presentados en el problema.

Resumen de instrucciones Python

# Raices en intervalo - Ejemplo02
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fx = lambda x: x*np.cos(x) - 2*(x**2) + 3*x -1

# INGRESO
a = 0.2
b = 1.3
muestras = 101

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)

# SALIDA - GRAFICA
plt.plot(xi,fi)
plt.axhline(0,color='g')
plt.show()

Tarea: continúe con el ejercicio usando la función de scipy.optimize.fsolve() y compare resultados.

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3. Tarea

Continuar con el ejercicio observando que si el dominio es [-2,2] se tiene que:

gráfica obtenida con:

# Burden Capítulo 1.1 Ejemplo 2 p11, pdf 21
# raices del polinomio en [a,b]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

funcionx = lambda x: x**5 - 2*(x**3) + 3*(x**2) -1

# INGRESO
a = -2
b = 2
muestras = 1001

# PROCEDIMIENTO
xi = np.linspace(a,b,muestras)
yi = funcionx(xi)

# SALIDA
plt.plot(xi,yi)
plt.axhline(0, color='green')
plt.axvline(0, color='green')
plt.show()

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