1.4.1 Polinomio de Taylor – Error de aproximación. Ejemplo02

Referencia: Burden 7Ed cap 1.1 Ejercicio 8. Burden p15, pdf 25; 9Ed p15

Obtenga el tercer polinomio de Taylor P3(x) para la función:

f(x) = \sqrt{x+1}

alrededor de x0=0.

Aproxime el resultado para x=0.5, 0.75, 1.25 y 1.75 usando P3(x) y calcule los errores reales.


1. Desarrollo analítico

Se indica calcular los errores reales como la diferencia entre f(x) y el polinomio de Taylos p(x).

Siguiendo los pasos del ejercicio01, Determine el polinomio de Taylor, realice los pasos y verifique su respuesta con:

P_3(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} x^2 +\frac{1}{16} x^3

luego calcule los valores de la tabla:

x P3(x) \sqrt{x+1} |diferencia ó error|
0.5  1.22656250000000  1.22474487139159  0.00181762860841106
0.75
1.25
1.5

Realice las observaciones a los resultados obtenidos.

Al graficar los valores de la tabla, se tiene puede observar que al alejarse x del punto de referencia x0, el error aumenta. Se representa como lo marcado en amarillo entre las curvas f(x) y el polinonio p(x).


2. Desarrollo algoritmico, intrucciones en Python

Puede reutilizar la función del polinomio de Taylor con la fórmula simbólica usada en el enlace del Ejemplo 1.4

A partir del algoritmo básico, se convierte el procedimiento a una función def-return. Con la función politaylor() se crea el polinomio y se evalua para calcular el error respecto al valor real de la expresión.

# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# función en forma simbólica con sympy

import numpy as np
import sympy as sym

# Calcula n términos del polinomio de Taylor
# funcionx es simbólica
def politaylor(fx,x0,n):
    k = 0
    polinomio = 0
    while (k <= n):
        derivada   = fx.diff(x,k)
        derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
        divisor   = np.math.factorial(k)
        terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
        polinomio = polinomio + terminok
        k = k + 1
    return(polinomio)


# PROGRAMA  -------------
# Capitulo 1.1 Ejecicio 8, Burden p15, pdf 25
# Calcule el error con polinomio Taylor grado 3

# INGRESO

# variable x es simbólica
x = sym.Symbol('x')
fx = sym.sqrt(x+1)

x0 = 0 
xi = 0.5 # donde se evalua el polinomio
n  = 3

# PROCEDIMIENTO

# Referencia, f(xi) real
fxi = fx.subs(x,xi)

# Aproximado con Taylor
polinomio = politaylor(fx,x0,n)
pxi = polinomio.subs(x,xi)

error_real = fxi - pxi

# SALIDA
print(' Taylor:     ', polinomio)
print(' xi:         ', xi)
print(' estimado  : ', pxi)
print(' real:       ', fxi)
print(' error real: ', error_real)

cuyo resultado para xi=0.5 es:

 Taylor:      x**3/16 - x**2/8 + x/2 + 1
 xi:          0.5
 estimado  :  1.22656250000000
 real:        1.22474487139159
 error real:  -0.00181762860841106

complete la tabla usando también el algoritmo en Python


2.1 Gráfica del Error entre f(x) y p(x)

Esta es una sección complementaria para realizar la gráfica mostrada en el ejemplo. Requiere el uso de la librería matplotlib. Puede revisar la sección de Recursos/Resumen Python/Gráficas 2D de línea para más detalles.

  • Para evaluar en el intervalo se requiere convertir las expresiones simbólicas a la forma numérica lambda: fxn, pxn
  • Para la gráfica, se usa el intervalo [a,b] con las muestras necesarias para una buena resolución de imagen. Se obtiene el vector xin
  • Se evalua fxn y pxn en el intervalo, obteniendo los valores en los vectores: fxni y pxni.
  • Se realiza la gráfica entre xin vs fxni y pxni
  • Para destacar el error de truncamiento, se rellena el espacio en color amarillo entre fxni y pxni, usando plt.fill_between() .
  • Para resaltar x0, se traza una línea vertical.
# cambia a forma lambda
fxn = sym.lambdify(x,fx,'numpy')
pxn = sym.lambdify(x,polinomio,'numpy')

# intervalo usando xi como referencia
a = x0        # izquierda
b = x0 + 3*xi # derecha
muestras = 51

# evaluar en intervalo
xin = np.linspace(a,b,muestras)
fxni = fxn(xin)
pxni = pxn(xin)

# Gráfica
plt.plot(xin,fxni,label='f(x)')
plt.plot(xin,pxni,label='p(x)')

plt.fill_between(xin,pxni,fxni,color='yellow')
plt.axvline(x0,color='green')

plt.title('Polinomio Taylor: f(x) vs p(x)')
plt.legend()
plt.xlabel('xi')
plt.show()