1.4 Taylor-polinomio Ejemplo01

Referencia: Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3.  p11, pdf 21; 9Ed p11. Chapra, 4.1 p80, pdf104.   Taylor Series (Wikipedia)

Para la siguiente función trigonométrica:

f(x) = \cos (x)

alrededor de  x0 = 0, encontrar:

a) el segundo polinomio de Taylor (n=2),

b) el tercer polinomio de Taylor (n=3), para aproximar cos(0.01)

c) con el resultado anterior y su término residuo aproximar

\int_{0}^{0.1} \cos(x) dx

1 Desarrollo analítico

Para el polinomio de Taylor se tiene que:

P_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \text{...}

Para la expresión completa, se desarrollan las derivadas y se se evalua cada expresión en x0 = 0, como se muestra a continuación

f(x) = cos(x) f(0) = 1
f'(x) = -sen(x) f'(0) = 0
f”(x) = -cos(x) f”(0) = -1
f’”(x) = sen(x)  f’”(0) = 0
f4(x) = cos(x)  f4(0) = 1

En el literal a) para n=2 y x0=0:

\cos (x) = 1 + \frac{0}{1} (x-0) + \frac{-1}{2}(x-0)^2 + +\frac{\sin(\xi(x))}{6}(x-0)^3

A la expresión se añade un término más para estimar el error, como residuo o error de truncamiento, evaluado en ξ(x).

\cos (x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{\sin(\xi(x))}{6}x^3

con lo que si x=0.01

\cos (0.01) = 1 - \frac{1}{2}(0.01)^2 + \frac{1}{6}(0.01)^3 \sin(\xi(x)) = 0.99995 + 0.16 \text{x} 10^{-6} \sin(\xi(x))

El término del error es es del orden 10-6, la aproximación coincide por lo menos con los cinco primeros dígitos.

El residuo o error de truncamiento ξ(x) está entre 0 y x,

0<ξ(x) <0.01

Observe que los términos impares evaluados en x0=0 se anulan, por lo que el polinomio solo cambia con términos pares.

Tarea: revisar y continuar con los siguientes literales.


2 Desarrollo Algoritmico

Una forma de obtener los polinomios de Taylor es crear una función que resuelva el polinomio. Para el algortimo, usar la forma simbólica es una opción para crear la expresión.

Por facilidad se usan funciones matemáticas expresadas de forma simbólica con Sympy, con lo que se obtiene las derivadas y se crea el polinomio para el grado requerido.

De ser necesario, revisar los conceptos para Sympy en:

Fórmulas simbólicas – Sympy

Funciones simbólicas-Sympy

2.1 Algoritmo para construir el polinomio de Taylor de grado n

El algoritmo usa la forma simbólica de la expresión para crear el polinomio.

El procedimiento consiste en crear cada término k-ésimo y añadirlo a la expresión del polinomio. Al final se presenta solo la expresión del polinomio

# Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3.p11,pdf21;9Ed p11.
# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0
# f(x) en forma simbólica con sympy
import numpy as np
import sympy as sym

# INGRESO
x = sym.Symbol('x')
fx = sym.cos(x) 
muestras = 51
x0 = 0
grado = 2       # grado>0
n  = grado + 1  # Términos de polinomio
# PROCEDIMIENTO
k = 0 # contador de términos
polinomio = 0
while (k < n):
    derivada   = fx.diff(x,k)
    derivadax0 = derivada.subs(x,x0)
    divisor   = np.math.factorial(k)
    terminok  = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k
    polinomio = polinomio + terminok
    k = k + 1

# SALIDA
print(polinomio)

un ejemplo de ejecución del algoritmo con n=3:

1 - x**2/2

Para una interpretación gráfica del resultado, luego el polinomio se evalúa en el intervalo [a, b] que incluya x0 para realizar la gráfica.

En las siguientes páginas 1.4.2 y 1.4.3 se propone como tema complementario, no obligatoria para la parte algoritmica, se generaliza el algoritmo usando el formato def-return y se añade la gráfica que incluye el polinomio con diferentes grados.