2.1 Método de la Bisección – Concepto

Referencia: Burden 2.1 p.48/pdf.58, Chapra 5.2 p.124/pdf148, Rodriguez 3.1 p.36

El método se basa en el teorema del valor intermedio, conocido como método de la bisección, búsqueda binaria, partición de intervalos o de Bolzano.

Es un tipo de búsqueda incremental en el que:

  • el intervalo se divide siempre en la mitad.
  • Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.
  • La posición de la raíz se determina en el punto medio del sub-intervalo, izquierdo o derecho,  dentro del cual ocurre un cambio de signo.
  • el proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación

La gráfica muestra el proceso en forma animada, observe la forma en que progresivamente se acercan los puntos [a,b], donde se mantienen valores con signo diferente entre f(a) y f(b).

Observamos la gráfica para una sola iteración y asi describir mejor el método.
Para la primera iteración se tiene como procedimiento que la función tiene un cambio de signo en el intervalo [a,b].

En intervalo se divide en la mitad, representado por el punto c, obteniendo el sub-intervalo izquierdo [a,c] o sub-intervalo derecho [c,b].

El sub-intervalo que contiene la función con un cambio de signo, se convierte en el nuevo intervalo a ser analizado en la siguiente iteración


Cota de Error

Referencia: Teorema 2.1 Burden 9Ed.  p,51.

Suponga que f ∈ C[a,b] y f(a)*f(b)<0, f es una función en el intervalo [a,b] y que presenta un cambio de signo.

|p_n - p| \leq \frac{b-a}{2^n} \text{donde } n \geq 1

la desigualdad implica que pn converge a p con una razón de convergencia de orden:

O \Big(\frac{1}{2^n}\Big)

es decir:

p_n =p+O \Big( \frac{1}{2^n} \Big)

cantidad de iteraciones

Referencia: Ejemplo 2 Burden 9Ed.  p.52/pdf.62

Determine la cantidad de iteraciones necesarias para resolver

f(x) = x^3 + 4x^2 -10 =0

con exactitud de 10 – 3 en el intervalo [1,2].

Desarrollo: Se busca encontrar un entero n que satisface la ecuación:

|p_n -p| \leq \frac{b-a}{2^{n}} 2^{-n}< 10^{-3}

usando logaritmos:

-n \log _{10}( 2) < -3 n > \frac{3}{\log _{10}( 2)} = 9.96

En consecuencia se requieren unas diez iteraciones para lograr la aproximación de 10-3. Verifique los resultados con los valores calculados.