2.4.1 Método del Punto fijo – Ejemplo con Python

Ejemplo 1

Encontrar la solución a la ecuacion, usando el método del punto fijo

f(x):e^{-x} - x = 0

Desarrollo Analítico

Al igual que los métodos anteriores, es conveniente determinar el intervalo [a,b] donde es posible evaluar f(x). Se revisa si hay cambio de signo en el intervalo para buscar una raiz.

Para el ejemplo, el rango de observación será [0,1], pues f(0)=1 es positivo y f(1)=-0.63 es negativo.

Para el punto fijo, se reordena la ecuación para para tener una ecuación con la variable independiente separada.

Se obtiene por un lado la recta identidad y=x, por otro se tiene la función g(x).

Se buscará la intersección entre las dos expresiones .

x = e^{-x} g(x) = e^{-x}

Se puede iniciar la búsqueda por uno de los extremos del rango [a,b]. Por ejemplo:

  • iniciando desde el extremo izquierdo x=a,
  • se determina el valor de b = g(x) ,
  • se determina la diferencia de la aproximación o error = |b-a|, tolera=0.001
  • se proyecta en la recta identidad, como el nuevo punto de evaluación
    x=b.
  • se repite el proceso para el nuevo valor de x, hasta que el error sea menor al tolerado.
  • En caso que el proceso no converge, se utiliza un contador de iteraciones máximo, para evitar tener un lazo infinito.

iteración 1

x_0 = 0 x_1 = g(0) = e^{-0} = 1 tramo =|1-0|= 1

iteración 2

x_1 = 1 x_2 = g(1) = e^{-1} = 0.3678 tramo =|0.3678 - 1|= 0.6322

iteración 3

x_2 = 0.3678 x_3 = e^{-0.3678} = 0.6922 tramo =|0.6922-0.3678|= 0.3244

La tabla resume los valores de las iteraciones

Método del punto fijo
iteración x xnuevo = g(x) |error|
1 0 1.0 1
2 1.0 0.3678 0.6322
3 0.3678 0.6922 0.3244
4 0.6922
5

El proceso realizado en la tabla se muestra en la gráfica, para una función que converge.


Algoritmo en Python

El algoritmo en python se presenta como una función para usarla fácilmente como un bloque en otros ejercicios. Se requiere la función gx, el punto inicial y la tolerancia, la variable de número de iteraciones máxima, iteramax, permite controlar la convergéncia de la función con el método.

Se presenta el algoritmo mejorado, convirtiendo el procedimiento del método a una función Python.

# Algoritmo de punto fijo
# [a,b] intervalo de búsqueda
# error = tolera

import numpy as np

def puntofijo(gx,a,tolera, iteramax = 15):
    i = 1 # iteración
    b = gx(a)
    tramo = abs(b-a)
    while(tramo>=tolera and i<=iteramax ):
        a = b
        b = gx(a)
        tramo = abs(b-a)
        i = i + 1
    respuesta = b
    
    # Validar respuesta
    if (i>=iteramax ):
        respuesta = np.nan
    return(respuesta)

# PROGRAMA ---------

# INGRESO
fx = lambda x: np.exp(-x) - x
gx = lambda x: np.exp(-x)

a = 0       # intervalo
b = 1
tolera = 0.001
iteramax = 15  # itera máximo
muestras = 51  # gráfico
tramos = 50

# PROCEDIMIENTO
respuesta = puntofijo(gx,a,tolera)

# SALIDA
print(respuesta)

la respuesta obtenida del problema es

0.566908911921

Para obtener la gráfica básica se determinan los puntos para cada función fx y gx. Se añaden las siguiente instrucciones al algoritmo anterior:

# GRAFICA
# calcula los puntos para fx y gx
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)
gi = gx(xi)
yi = xi

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(xi,fi, label='f(x)')
plt.plot(xi,gi, label='g(x)')
plt.plot(xi,yi, label='y=x')

if (respuesta!= np.nan):
    plt.axvline(respuesta)
plt.axhline(0, color='k')
plt.title('Punto Fijo')
plt.legend()
plt.show()

Scipy.optimize.fixed_point

El método del punto fijo se encuentra implementado en Scipy, que también puede ser usado de la forma:

>>> import scipy.optimize as opt
>>> opt.fixed_point(gx,a,xtol=0.001,maxiter=15)
array(0.5671432948307147)

el valor predeterminado de iteraciones si no se escribe es 500 y la tolerancia predeterminada es xtol=1e-08
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.fixed_point.html


Tarea

  • Revisar lo que sucede cuando el valor inicial a esta a la derecha de la raiz.
  • Validar que la función converge, revisando que |g'(x)|<1, o que la función g(x) tenga pendiente menor a pendiente de la recta identidad.
  • Realizar el mismo ejercicio para
f(x) = x^{2}-x-2 = 0

en el rango [-1,2]
Realice sus observaciones y recomendaciones.