2.4 Método del Punto fijo – Concepto

Referencia: Burden 2.2 p.55/pdf.65, Chapra 6.1 p.143/pdf167, Rodriguez 3.2 p.44

El método del punto fijo es un método abierto, también llamado de iteración de un punto o sustitución sucesiva, que reordena la ecuación

f(x)=0

de la forma en que x esté del lado izquierdo de la ecuación, para buscarla intersección entre la recta identidad y la curva g(x), como se muestran en los siguientes ejemplos.

y = x

x=g(x)

Observe que la raiz de f(x) se encuentra en el mismo valor de x donde ocurre la intersección entre la recta identidad en color verde y la función g(x) en color naranja. Se usa la linea vertical en color morado en x=raiz como referencia de lo indicado.

El método consiste en establecer un punto inicia x0 para la búsqueda, que se usa para calcular el valor g(x0).

En la siguiente iteración el nuevo valor para x es g(x0), que se refleja en la recta identidad y nuevamente se usa para calcular g(x).

El resultado iterativo se muestra en la figura animada, donde se observa que el resultado es convergente.


Ejemplo 1

f(x):e^{-x} - x = 0

se reordena para tener:

x = e^{-x} g(x) = e^{-x}


Ejemplo 2

f(x): x^2 - 2x -3 = 0

se reordena para tener:

x = \frac {x^2 - 3}{2} g(x) = \frac {x^2 - 3}{2}


Ejemplo 3

f(x): \sin (x) = 0

puede ser complicado despejar x, por lo que se simplifica el proceso sumando x en ambos lados.

x = \sin (x) + x g(x) = \sin (x) + x

El método proporciona una fórmula para predecir un valor nuevo de x en función del valor anterior:

x_{i+1} = g(x_i)

con error aproximado calculado como:

\epsilon_a = \left| \frac{x_{i+1} - x_i}{x_{i+1}} \right| 100\%

Tarea

Plantee como usar los siguientes conceptos:

  • ¿cuál sería el valor de tolerancia?
  • ¿parámetros de inicio?
  • compare con con otro método conocido
  • Revisar el resultado cuando no se cumple que |g'(x)|<1