3.4.1 Gauss-Jordan Inversa

Referencia: Chapra 10.2 p292, pdf 316; Buden 9Ed 6.3 p386. Rodriguez Cap.4.2.5 Ejemplo 1 pdf.118

Ejemplo

Obtener la inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan, a partir de la matriz:

\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 8 \\ 5 & 4 & 3 \end{pmatrix}
A = np.array([[4,2,5],
              [2,5,8],
              [5,4,3]])

Desarrollo analítico

Para el procedimiento, se crea la matriz aumentada de A con la identidad I.

AI = A|I

\begin{pmatrix} 4 & 2 & 5 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 8 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
[[  4.    2.    5.   1.    0.    0. ]
 [  2.    5.    8.   0.    1.    0. ]
 [  5.    4.    3.   0.    0.    1. ]]

Con la matriz aumentada AI  se repiten los procedimientos aplicados en el método de Gauss-Jordan:

  • pivoteo parcial por filas
  • eliminación hacia adelante
  • eliminación hacia atras

De la matriz aumentada resultante, se obtiene la inversa A-1 en la mitad derecha de AI, lugar que originalmente correspondía a la identidad.

el resultado buscado es:

la matriz inversa es:
[[ 0.2        -0.16470588  0.10588235]
 [-0.4         0.15294118  0.25882353]
 [ 0.2         0.07058824 -0.18823529]]
\begin{pmatrix} 0.2 & -0.16470588 & 0.10588235 \\ -0.4 & 0.15294118 & 0.25882353 \\ 0.2 & 0.07058824 & -0.18823529 \end{pmatrix}

Verifica resultado

El resultado se verifica realizando la operación producto punto entre A y la inversa, que debe resultar la matriz identidad.

A.A-1 = I

El resultado de la operación es una matriz identidad. Observe que los valores del orden de 10-15 o menores se consideran como casi cero o cero.

 A.inversa = identidad
[[ 1.00000000e+00 -1.38777878e-17 -1.38777878e-16]
 [ 2.22044605e-16  1.00000000e+00 -2.22044605e-16]
 [ 5.55111512e-17 -9.71445147e-17  1.00000000e+00]]

Algoritmo en Python

El algoritmo que describe el proceso en python:

# Matriz Inversa con Gauss-Jordan
# AI es la matriz aumentada A con Identidad
# Se aplica Gauss-Jordan(AI)

import numpy as np

# INGRESO
A = np.array([[4,2,5],
              [2,5,8],
              [5,4,3]], dtype=float)

# PROCEDIMIENTO
casicero = 1e-15 # Considerar como 0

# matriz identidad
tamano = np.shape(A)
n = tamano[0]
identidad = np.identity(n)

# Matriz aumentada

AB = np.concatenate((A,identidad),axis=1)
AB0 = np.copy(AB)

# Pivoteo parcial por filas
tamano = np.shape(AB)
n = tamano[0]
m = tamano[1]

# Para cada fila en AB
for i in range(0,n-1,1):
    # columna desde diagonal i en adelante
    columna = abs(AB[i:,i])
    dondemax = np.argmax(columna)
    
    # dondemax no está en diagonal
    if (dondemax !=0):
        # intercambia filas
        temporal = np.copy(AB[i,:])
        AB[i,:] = AB[dondemax+i,:]
        AB[dondemax+i,:] = temporal
AB1 = np.copy(AB)

# eliminacion hacia adelante
for i in range(0,n-1,1):
    pivote = AB[i,i]
    adelante = i+1
    for k in range(adelante,n,1):
        factor = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor
AB2 = np.copy(AB)

# elimina hacia atras
ultfila = n-1
ultcolumna = m-1
for i in range(ultfila,0-1,-1):
    pivote = AB[i,i]
    atras = i-1 
    for k in range(atras,0-1,-1):
        factor = AB[k,i]/pivote
        AB[k,:] = AB[k,:] - AB[i,:]*factor
    # diagonal a unos
    AB[i,:] = AB[i,:]/AB[i,i]

inversa = np.copy(AB[:,n:])

# SALIDA
print('Matriz aumentada:')
print(AB0)
print('Pivoteo parcial por filas')
print(AB1)
print('eliminacion hacia adelante')
print(AB2)
print('eliminación hacia atrás')
print(AB)
print('Inversa de A: ')
print(inversa)

el resultado buscado es:

la matriz inversa es:
[[ 0.2        -0.16470588  0.10588235]
 [-0.4         0.15294118  0.25882353]
 [ 0.2         0.07058824 -0.18823529]]
verificando
A.inversa = identidad
[[ 1.00000000e+00 -1.38777878e-17 -1.38777878e-16]
 [ 2.22044605e-16  1.00000000e+00 -2.22044605e-16]
 [ 5.55111512e-17 -9.71445147e-17  1.00000000e+00]]

Observe que el algoritmo se pude reducir si usan los procesos de Gauss-Jordan como funciones.

Tarea: Realizar el algoritmo usando una función creada para Gauss-Jordan