3.6 Gauss-Seidel Método

Referencia: Chapra 11.2 p310 pdf334, Burden 9Ed 7.3 p454, Rodriguez 5.2 p162

La analogía presentadas entre la «norma como distancia 3D» y el «error de acoplamiento de aeronaves», pertimite considerar desde un punto de partida o inicial, las aproximaciones o iteraciones sucesivas hacia una solución del sistema de ecuaciones. Las iteraciones pueden ser convergentes o no.

Los métodos iterativos para sistemas de ecuaciones, son semejantes al método de punto fijo para búsqueda de raíces, requieren un punto inicial para la búsqueda de la raiz o solución que satisface el sistema.

Para describir el método iterativo de Gauss-Seidel, se usa un sistema de 3 incógnitas y 3 ecuaciones, diagonalmente dominante.

\begin{cases} a_{0,0} x_0+a_{0,1}x_1+a_{0,2} x_2 = b_{0} \\ a_{1,0} x_0+a_{1,1}x_1+a_{1,2} x_2 = b_{1} \\ a_{2,0} x_0+a_{2,1}x_1+a_{2,2} x_2 = b_{2} \end{cases}

Para facilitar la escritura del agoritmo, note el uso de índices ajustado a la descripción de arreglos en Python para la primera fila i=0 y primera columna j=0.

Semejante a despejar una variable de la ecuación para representar un plano, se plantea despejar una variable de cada ecuación. Se obtiene así los valores de cada xi, por cada por cada fila i:

x_0 = \frac{b_{0} -a_{0,1}x_1 -a_{0,2} x_2 }{a_{0,0}} x_1 = \frac{b_{1} -a_{1,0} x_0 -a_{1,2} x_2}{a_{1,1}} x_2 = \frac{b_{2} -a_{2,0} x_0 - a_{2,1} x_1}{a_{2,2}}

Observe que el patrón de cada fórmula para determinar x[i], tiene la forma:

x_i = \bigg(b_i - \sum_{j=0, j\neq i}^n A_{i,j}X_j\bigg) \frac{1}{A_{ii}}

La parte de la sumatoria se realiza para cada término de A[i,j] en la fila i, excepto para el término de la diagonal A[i,i].

Si se tiene conocimiento del problema planteado y se puede «intuir o suponer» una solución para el vector X. Por ejemplo, iniciando con el vector cero, es posible calcular un nuevo vector X usando las ecuaciones para cada X[i] encontradas.

X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Con cada nuevo valor se calcula el vector diferencias entre el vector X y cada nuevo valor calculado X[i] .

El error que llama la atención es al mayor valor de las diferencias; se toma como condición para repetir la evaluación de cada vector.

     nuevo = [ 0, 0,  0]
         X = [x0, x1, x2]
diferencia = [|0 - x0|, |0 - x1|, |0 - x2|]
errado = max(diferencia)

Se observa los resultados de errado para cada iteración, relacionados con la convergencia. Si luego de «muchas» iteraciones se encuentra que (errado>tolera),  se detiene el proceso.