5.3 Regla de Simpson 3/8

Referencia: Chapra 21.2.1 p.631 pdf.655, Burden 4.2 p192 pdf202, Rodriguez 7.1.8 p288

Es el resultado cuando para el integral se utiliza el resultado de una interpolación con polinomio de tercer grado.

I = \int_a^b f(x) \delta x \cong \int_a^b f_3 (x) \delta x

Al desarrollar la fórmula se la fórmula de la Regla de Simpson de 3/8 para un segmento con tres tramos con distancia h:

I\cong \frac{3h}{8}[f(x_0)+3f(x_1) +3 f(x_2)+f(x_3)]

siendo el tramo de un segmento [a,b]

h=\frac{b-a}{3}

Error de Truncamiento

error_{truncamiento} = -\frac{3}{80} h^5 f^{(4)} (z)

donde z se encuentra entre[a,b]

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Algoritmo en Python

A partir del algoritmo para Simpson de 1/3, realizar las modificaciones para obtener el algoritmo para Simpson de 3/8

Resultados de algoritmo

tramos:  6
Integral con Simpson 3/8:  2.0542043057079566

Instrucciones en Python

# Integración Simpson 1/3
# Usando una muestras xi,fi
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def integrasimpson38_fi(xi,fi,tolera = 1e-10):
    ''' sobre muestras de fi para cada xi
        integral con método de Simpson 3/8
        respuesta es np.nan para tramos desiguales,
        no hay suficientes puntos.
    '''
    n = len(xi)
    i = 0
    suma = 0
    while not(i>=(n-3)):
        h  = xi[i+1]-xi[i]
        h1 = (xi[i+2]-xi[i+1])
        h2 = (xi[i+3]-xi[i+2])
        dh = abs(h-h1)+abs(h-h2)
        if dh<tolera:# tramos iguales
            unS38 = fi[i]+3*fi[i+1]+3*fi[i+2]+fi[i+3]
            unS38 = (3/8)*h*unS38
            suma = suma + unS38
        else:  # tramos desiguales
            suma = 'tramos desiguales'
        i = i + 3
    if (i+1)<n: # incompleto, tramos por calcular
        suma = 'tramos incompletos, faltan '
        suma = suma +str(n-(i+1))+' tramos'
    return(suma)

# PROGRAMA -----------------
# INGRESO
xi = [1.        , 1.33333333, 1.66666667, 2.        ,
      2.33333333, 2.66666667, 3.        ]
fi = [0.84147098, 1.12229722, 1.28506615, 1.28594075,
      1.10453193, 0.74672307, 0.24442702]
tolera = 1e-7

# PROCEDIMIENTO
n = len(xi)-1
Area = integrasimpson38_fi(xi,fi,tolera)

# SALIDA
print('tramos: ',n)
print('Integral con Simpson 3/8: ',Area)
if type(Area)==str:
    print('  Revisar errores')