1Eva_IIT2008_T2_MN Distribuidores de productos

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2.  Para mejorar la cadena de distribución de un producto, se desea instalar tres nuevos distribuidores X1, X2, X3 en la parte interna de la región. En las cercanías ya existen otros distribuidores: A, B, C, D, E, F, G del mismo producto.

En el gráfico, el valor de los círculos indican el precio de venta del producto que ofrece cada distribuidor. Las líneas muestran los otros distribuidores que están directamente conectados y el costo del transporte.

Determine el precio de venta que deben establecer los distribuidores X1, X2 y X3, de tal manera que sean el promedio de los precios de los distribuidores con los que están directamente conectados, incluyendo el precio del transporte.

a) Plantee un modelo matemático para describir el problema (sistema de ecuaciones lineales)

b) Encuentre la solución con un método numérico directo

1Eva_IIT2008_T1_MN Bacterias contaminantes

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relación:

c= 70 e^{-1.5t} + 25 e^{-0.075t}

Se necesita determinar el tiempo para que la concentración de bacterias sea menor o igual a 9.

a) Encuentre un intervalo en el que exista una raíz de la ecuación

b) Elija un valor inicial del tiempo tal que el método de Newton converja a la solución requerida.

c) Calcule la solución con el método de Newton con una precisión de 0.001

1Eva_IIT2008_T3 Bacterias contaminantes

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM00158

Tema 3. La concentración de bacterias contaminantes c en un lago decrece de acuerdo con la relación:

c= 70 e^{-1.5t} + 25 e^{-0.075t}

Se necesita determinar el tiempo para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 unidades o menos.

a) Determine un intervalo de existencia de la raíz de la ecuación. (Grafique)

b) Encuentre un valor de p tal que la convergencia del método de Newton este garantizada.

c) Aproxime la raíz con el método de Newton, indicando la cota del error.


Referencias: Contaminación del Agua – BrainPOP Español.

1Eva_IIT2008_T2 Indice enfriador de viento

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM00158

Tema 2. El índice enfriador del viento I es una función que depende de dos factores: La temperatura real T y la velocidad del viento v; es decir I=f(T,v).

La siguiente tabla registra los valores de I recogidos en cierto momento por un investigador en los páramos del Cotopaxi. Por ejemplo, cuando la temperatura real es de 5 grados Celcius y el viento de 20 Km/hora, el índice I = f(5, 20) =1 , que quiere decir que la temperatura que se siente en estas condiciones es de 1 grado, aunque no sea la temperatura real.

T\v  5 10 15 20
5 4 2 2 1
0 -2 -3 -4 -5
-5 -8 -10 -11 -12

Usando interpolación polinomial, estimar la temperatura que sentirá una persona situada en un lugar en el que la temperatura real es de 2 grados y la velocidad del viento es 25 Km/hora.

1Eva_IIT2008_T1 Distribuidores de productos

1ra Evaluación II Término 2008-2009. 9/Diciembre/2008. ICM00158

Tema 1.  En una región se desean instalar tres nuevos distribuidores X1, X2, X3 de un producto. En las cercanías ya existen otros distribuidores: A, B, C, D, E, F, G del mismo producto.

En el gráfico, los círculos indican el precio de venta del producto que ofrece cada distribuidor. Las líneas con los que otros distribuidores están directamente conectados y el costo del transporte.

Determine el precio de venta que deben establecer los distribuidores X1, X2 y X3, de tal manera que sean el promedio de los precios de los distribuidores con los que están directamente conectados, incluyendo el precio del transporte.

a) Plantee un modelo matemático para describir el problema (sistema de ecuaciones lineales)

b) Encuentre la solución con el método de Gauss-Jordan

c) Determine si el método iterativo de Jacobi converge. Realice tres iteraciones y encuentre la norma del error. Vector inicial. vector cero.

1Eva_IT2008_T3 Polinomio de Lagrange

1ra Evaluación I Término 2008-2009. 8/Julio/2008. ICM00158

Tema 3. Dada la tabla:

t v(t)
3 65.041
5 64.385
7 y
9 63.210
x 62.576
13 61.993
15 61.417

Aproximar los valores de x,y con ayuda de polinomios de Lagrange

1Eva_IT2008_T2 Temperatura en placa

1ra Evaluación I Término 2008-2009. 8/Julio/2008. ICM00158

Tema 2. La temperatura de una placa está dada por la temperatura de sus bordes, en cada nodo de la malla formada, la temperatura es igual al promedio de los nodos contíguos (arriba, abajo, derecha e izquierda) como se indica en el diagrama adjunto.

a) Plantee el sistema de ecuaciones asociado para hallar las temperaturas en los nodos interiores de la malla.

b) Utilice el método de eliminación de Gauss con una aritmética de 4 dígitos para aproximar la solución del sistema en el literal a.

1Eva_IT2008_T1 Raíz de función(f)

1ra Evaluación I Término 2008-2009. 8/Julio/2008. ICM00158

Tema 1. Dada la fórmula:

\Big(\sqrt{f}\Big) ln \Bigg( R\frac{\sqrt{f}}{2.51} \Bigg) - 1.1513 = 0

Determinar el valor de f con un aproximación del orden de 10-5 para R=5000


1Eva_IIIT2007_T3 Factorar polinomio

1ra Evaluación III Término 2007-2008. 3/Marzo/2008. ICM00158

Tema 3. Se requiere factorar el polinomio:

P_3(x) = 2x^3-5x^2 + 3x-0.1 P_3(x) = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)

Utilizando el siguiente procedimiento:

a. Calcule r1 resolviendo P3(x) = 0 con Newton, ε = 0.0001

b. Obtenga el polinomio cociente Q2(x), a partir de P3(x) = (x – r1)Q2(x)

c. Calcule r2 y r3 de la ecuación Q2(x) = 0

d. Escriba los otros factores de Q2(x) = (x – r2)(x – r3)


Observe la gráfica del problema para la solución

1Eva_IIIT2007_T2 Función Cobb-Douglas

1ra Evaluación III Término 2007-2008. 3/Marzo/2008. ICM00158

Tema 2. La función de producción llamada Cobb-Douglas relaciona funcionalmente a los insumos de capital y trabajo necesarios para producir de la manera más óptima de una determinada cantidad de un bien.

Y = f(K,L) es la cantidad máxima del bien que se puede producir dados los insumos utilizados de capital y trabajo. K y L representan las cantidades de capital y trabajo respectivamente.

En la industria de lácteos se han observado los siguientes valores óptimos de producción Y (en miles de Kg) para diferentes valores de L (número de trabajadores)  y capital invertido K (en miles de dólares).

 L\K 10 20 30 40
0 0 0 0 0
10 11.0000 13.0813 14.4768 15.5563
20 18.4997 22.0000 24.3470 26.1626
30 25.0746 29.8189 33.0000 35.4608

a. Determinar usando el polinomio de interpolación de Lagrange, ¿cuál será la producción óptima de lácteos en una empresa que emplea 25 trabajadores y que invierte un capital de $ 25000 en el plan de producción?

b.  Una empresa que tiene 25 trabajadores desea producir 30000 Kg de lácteos. ¿cuánto dinero deberá invertir?, use el polinomio de interpolación y el método de Newton con una precisión de 10-5


Referencia: Wikipedia/Cobb-Douglas

M = np.array([[0, 0, 0, 0],
              [11.0000, 13.0813, 14.4768, 15.5563],
              [18.4997, 22.0000, 24.3470, 26.1626],
              [25.0746, 29.8189, 33.0000, 35.4608]])
li = np.array([0.0, 10, 20, 30])
kj = np.array([10.0, 20, 30, 40])