3raEva 2016-2017-2018 – Página 2

3Eva_IT2017_T4 EDP elíptica, placa desplazada

Tema 4. Aproxime la solución de la EDP elíptica:

\frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}

1 < x < 2
1 < y < 2

U(x,1)= x \ln (x), U(x,2) = x \ln (4x^{2}),1 \lt x \lt 2

U(1,y)= y \ln(y), U(2,y) = 2y \ln (2y), 1 \lt x \lt 2

use h = k = 0.5

Tema 3. El área de la sección transversal As (m²) de un lago, a cierta profundidad, se calcula a partir del volumen utilizando la diferenciación:

A_s(Z) = -\frac{\delta V}{\delta z} (Z)

Donde V = volumen (m³) y z = profundidad (m), se mide a partir de la superficie en dirección del fondo.

La concentración promedio de una sustancia que varía con la profundidad $\overline{c}$ (g/m³) se obtiene por integración:

\overline{c} = \frac{\int_0^{Z_t} c(Z) A_s(Z) \delta Z}{\int_0^{Z_t}A_s(z) \delta Z}

Donde Z_t es la profundidad total (m).
Determine la concentración promedio con base en los siguientes datos:

zi = [0.  , 4   , 8   , 12    , 16]
vi = [9.82, 5.11, 1.96,  0.393,  0.]
ci = [10.2, 8.5 , 7.4 ,  5.2  ,  4.1]

Tema 2. Use un método de Runge Kutta para sistemas y aproxime la solución de la siguiente EDO de orden superior

y'''+ 2y'' - y'- 2y = e^t

0 ≤ t ≤ 1

y(0) = 1
y'(0) = 0
$y''(0) = 0$

con h = 0.25

Tema 1. La razón de crecimiento específico g de una levadura que produce un antibiótico es una función de la concentración del alimento c,

g = \frac{2c}{4+0.8c + c^2 +0.2 c^3}

Como se ilustra en la figura, el crecimiento parte de cero a muy bajas concentraciones debido a la limitación de alimento.

También parte de cero en altas concentraciones debido a los efectos de toxicidad.

a) Encuentre el valor de c para el cual el crecimiento es un máximo.

b) Evalúe la función g del problema 1 para c=0,1,2,3, y encuentre el trazador cúbico natural para aproximar el máximo de g, encuentre el error.