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1Eva_IT2011_T2_MN Alimentos para animales

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. Suponga un sistema biológico con 4 especies de animales (e1, e2, e3, e4) y 3 tipos de alimentos (A, B, C).

En el siguiente cuadro se muestra el consumo diario promedio de cada tipo de alimento por cada miembro de especie animal, y la cantidad diaria de alimento disponible:

Alimento\Especie e1 e2 e3 e4 Cantidad diaria
A 1 2 0 3 3500
B 1 0 2 2 2700
C 0 0 1 1 900

Sea xj el número de miembros de cada especie animal j = 1, 2, 3, 4.

a) Escriba un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad de miembros de cada especie animal que pueden sustentarse con las cantidades de alimentos disponibles.

b) Encuentre una solución con el método de Gauss-Jordan en la que la última variable quede libre.
Escriba el conjunto de soluciones posibles en función de la variable libre.

c) Suponga que la cantidad actual de miembros de cada especie es:

X = [1000, 500, 350, 400]

¿Hay suficiente cantidad de alimentos para satisfacer el consumo promedio diario actual?

d) ¿Cuál es el número máximo de animales de cada especie que podría incrementarse de tal manera que el suministro diario disponible satisfaga todavía al consumo diario?

e) Si se extingue la especie animal 4, ¿Qué aumento individual de cada una de las otras tres especies podría soportarse con la cantidad diaria de alimento disponible?

Referencia: Disney’s Fantasia 2000 Pomp Circumstance Starring Donald Duck

 

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1Eva_IT2011_T1_MN Fondo de Inversión

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. Los ingresos netos de un fondo de inversiones se puede modelar mediante:

C(t)=Ate^{-t/3}

Unidades en millones de dólares después de inyectarle A millones de dólares, t es tiempo en años.

a) Encuentre el tiempo t en el que el fondo de inversiones C(t) alcanza el máximo y determine el monto de la inversión inicial A necesaria para que el máximo sea igual a un millón de dólares.

b) Encuentre el tiempo t en el que el nivel del fondo de inversiones disminuye a un cuarto de millón de dólares. Use el método de Newton con una aproximación de 0.0001

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1Eva_IT2011_T3 Interpolar velocidad del automovil

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM00158

Tema 3. Suponga que se tiene un automóvil viajando a lo largo de un camino recto. En diferentes puntos de su recorrido se mide lo siguiente:

Tiempo [s] 0 3 5 8 13
Distancia [m] 0 69 117 190 303
Velocidad [m/s]  22.9  23.5  24.4  22.6  21.9

Usando interpolación de Lagrange aproxime el valor de la velocidad del automóvil en t =10 segundos.

Tiempo =    [ 0.0,  3,   5,   8,  13]
Distancia = [ 0.0, 69, 117, 190, 303]
Velocidad = [22.9, 23.5, 24.4, 22.6, 21.9]

Referencia:

 

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1Eva_IT2011_T2 Sistema ecuaciones con k

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM00158

Tema 2. Una empresa compra tres materiales A, B, C en cantidades en kg. como se indica en el cuadro.
Se dispone de tres facturas en las que consta el total pagado en dólares, excepto en la segunda factura:

Factura A B C Total
1 2 5 4 35
2 3 9 8 k
3 5 3 1 17

a) Construya el modelo matemático para resolver este problema.

b) Con el método de Gauss-Jordan encuentre la solución en función de k.

c) Luego de resolver el sistema, nos comunican que el valor pagado en la segunda factura es 65 dólares. Sustituya en la solución anterior y encuentre la solución exacta.

d) Para verificar que la solución es confiable, en la matriz de coeficientes sustituya 5 por 5.1 y obtenga nuevamente la solución con  k=65 y el método anterior. Compare con la solución anterior y comente el resultado obtenido.

e) Encuentre el error relativo de la solución y compare con el error relativo de la matriz. Comente acerca del tipo de sistema.

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1Eva_IT2011_T1 Encontrar α en integral

1ra Evaluación I Término 2011-2012. 5/Julio/2011. ICM00158

Tema 1. Determine de ser posible, el valor del parámetro α > 0 , tal que

\int_{\alpha}^{2\alpha} x e^{x}dx = 10

a) Justifique la existencia del parámetro α.

b) En caso de existir el parámetro α , aplicar el método de Newton para aproximar el valor de α , con una tolerancia de 10−4 .

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2Eva_IIT2010_T2 Calcular volumen

2da Evaluación II Término 2010-2011. 1/Febrero/2011. ICM00158

Tema 2. Calcule el volumen

\int\int u(x,y) \delta x \delta y

en el que u(x,y) está definido con la ecuación diferencial

\frac{\delta ^2 u}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2 u}{\delta y^2} = 4 u = u(x,y) 0\leq x \leq 2 0 \leq y \leq 1

con las condiciones en los bordes:

u(0,y) = 40 , 0\lt y \lt 1 u(2,y) = 50 , 0\lt y \lt 1 u(x,0) = 40 + 5x , 0\lt x \lt 2 u(x,1) = 40 + 5x , 0\lt x \lt 2

Use el método de diferencias finitas para resolver la ecuación diferencial y la fórmula de Simpson para calcular el integral. En todos los cálculos use Δx = Δy = 0.5

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2Eva_IIT2010_T1 Problema valor inicial

2da Evaluación II Término 2010-2011. 1/Febrero/2011. ICM00158

Tema 1. Resolver el siguiente problema de valor inicial:

y'+ \frac{2}{t}y = \frac{\cos (t)}{t^2} y(\pi)=0, t\gt 0

a. Determinar f(t,y)

b. Escribir el algoritmo de Runge-Kutta de 4to orden para la función definida en el literal a.

c. Presentar la tabla de resultados para el tamaño de paso h=0.2, con i = [0,9]

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1Eva_IIT2010_T3 Raíz de Polinomio

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 3. El polinomio P(x) tiene una única raiz positiva.

P(x) = x3 – x2 -x -1

Encuentre un intervalo donde se garantice la existencia de ésta raíz (justifique).

Utilizando el método del punto fijo, presente una tabla que contenga la sucesión de valores, el error

en = | xn – xn-1|, n≥1,

y con un criterio de interrupción del método iterativo de en ≤ 10-9

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1Eva_IIT2010_T2 Sistema ecuaciones, X0 = unos

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 2. Considere el sistema AX = B dado por:

\begin {cases} 0.4 x + 1.1 y +3.1z = 7.5 \\ 4x + 0.15y + 0.25z = 4.45\\ 2x+5.6y+3.1z=0.1\end{cases}

De ser posible, manipule el sistema de tal forma que se garantice la convergencia del método de Gauss-Seidel, determine la norma de la matriz T.

Determine la solución con éste método con el vector inicial (1,1,1) y con una tolerancia 10-4.

A = np.array([[0.4, 1.1 ,  3.1],
              [4.0, 0.15, 0.25],
              [2.0, 5.6 , 3.1]])
B = np.array([7.5, 4.45, 0.1])
X = np.array([1.0, 1.0, 1.0])
tolera = 1e-4
iteramax = 100