Curso con Python – MATG1052/MATG1013-FCNM-ESPOL
Ejercicios de examen
Tema 1. La función de variable real f(x) será aproximada con el polinomio de segundo grado P(x) que incluye los tres puntos f(0), f(π/2), f(π).
f(x) = e^x \cos (x) +1 0\leq x \leq \piEncuentre la magnitud del mayor error E(x) = f(x) -P(x), que se produciría al usar esta aproximación. Resuelva la ecuación no lineal resultante con la fórmula de Newton con un error máximo de 0.0001.
Tema 3. La placa plana mostrada en la figura está construida con cierto metal, y se ha determinado que la temperatura en los bordes de la placa es la que se indica en la figura. 
Ademas de tiene que el término no homogéneo asociado a la ecuación elíptica respectiva es f(x,y)=20
\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = fEl problema consiste en determinar la temperatura en los puntos del interior de la placa en la malla que se muestra en la figura.
a. Determinar el algoritmo en diferencias finitas que resuelve el problema
b. Plantear el sistema de ecuaciones lineas que resuelve el problema
c. Utilice el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones generado
Tema 2. La ecuación de un movimiento angular está dada por
y'' + 10 \sin (y) =0 0\leq t \leq 1 y(0)=0, y'(0)=0.1Empleando el método de Runge-Kutta de 4to orden generalizado y un paso de 0.25, aproximar la solución de la ecuación en t=0.50
Referencia: Chapra 28.4 p842 pdf 866
Tema 1. Aproximar el perímetro de la región ubicada en el primer cuadrante, acotada por los ejes coordenados y la curva
\begin{cases} x = 2 cos(t) \\ y = \sqrt{3} \sin{(t)} \end{cases} t \in \Big[0, \frac{\pi}{2}\Big]Utilice la regla compuesta de Simpson con n=8
Tema 3. Un comerciante compra cuatro artículos: arroz, manzanas, papas y tomates. 
Estos productos se venden por peso en Kg.
El cajero registra el peso adquirido de cada artículo y el costo total en dólares que debe pagar por los cuatro artículos.
El comerciante desea conocer el precio por Kg. de cada artículo, para lo cual dispone de cuatro facturas con los siguientes datos:
| Factura | Arroz | Manzanas | Papas | Tomates | Costo ($) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 | 4 | 1 | 15.0 |
| 2 | 2 | 2 | 5 | 2 | 18.3 |
| 3 | 4 | 1 | 1 | 2 | 12.3 |
| 4 | 2 | 5 | 2 | 1 | 19.2 |
a. Formule el modelo matemático para resolver este problema: sistema de ecuaciones lineales
b. Use el método de Gauss-Jordan para calcular la solución. Simultáneamente, transforme la matriz identidad para obtener la inversa de la matriz de coeficientes.
Tema 2. La curva de encendido de televisores en la ciudad de Guayaquil está en función de la hora del dia y del día de la semana.
Suponga que en un intervalo de 4 horas, un determinado día , el porcentaje de televisores encendidos está dado por la función:
p(x) =\frac{1}{2.5} \Big(-10 \sin \Big(\frac{12x}{7} \Big) e^{-\frac{24x}{7}} + \frac{48x}{7}e^{-\frac{8x}{7}} + 0.8 \Big)0≤x≤4
x: Tiempo en horas
p: porcentaje en horas de televisores encendidos
a. Encuentre un intervalo en que se encuentre el máximo de la función p
b. Utilice el método de Newton para encontrar el máximo de la función p. Calcule la respuesta con un error máximo de 0.0001
c. Encuentre el mínimo de la función p en el mismo intervalo de cuatro horas con el mismo método y con la misma precisión anteriores.
Gráfica de referencia
Tema 1. La demanda de un producto en el intervalo de tiempo [0,3] tiene forma sinusoidal. 
Al detectar la demanda, una empresa puede iniciar su producción a partir del instante 1, y la cantidad producida tiene forma logaritmica natural.
Se necesita encontrar el instante a partir del cual, la producción satisface a la demanda del producto.
Use el método de la Bisección para localizar el intervalo de la respuesta y obtenga la respuesta con error menor a 0.01
Tema 3. Para el control de los accidentes de tránsito, se requiere modelar un factor de riesgo de que ocurra un accidente de tránsito en cierta avenida, en función del número de vehículos que circulan por ella a la semana.
Por observación directa se han determinado los siguientes factores:
“Número de vehículos que circulan por la avenida a la semana” vs “Factor de riesgo”
| vehículos | 10000 | 7000 | 6000 | 5000 |
| Factor de riesgo | 0.8 | 0.5 | 0.4 | 0.2 |
Empleando toda la información de la tabla anterior, estime con un polinomio de Lagrange el factor de riesgo que tendrá la avenida si el número de vehículos que circula a la semana es 6500.
vehiculos = np.array([10000, 7000, 6000, 5000]) riesgo = np.array([0.8, 0.5, 0.4, 0.2])
Tema 2. Un pequeño buque porta-contenedores tiene una capacidad remanente para llevar un peso de 10 toneladas de carga y 10.4 m3 de volumen en contenedores tipo I y tipo II.
Los contenedores tipo I tienen un peso de 1 tonelada y ocupan un volumen de 1.1 m3, mientras que los de tipo II tienen un peso de 2 toneladas y ocupan un volumen de 2 m3.
Si se llenó la capacidad remanente del buque tanto en peso como en volumen, y utilizando el método directo de Gauss con aritmética de 3 dígitos y estrategia de pivoteo parcial:
a) Determinar cuántos contenedores tipo I y tipo II llevó el buque.
b) Luego se comprobó que hubo un pequeño error en la estimación del volumen que ocupa cada contenedor del tipo I. En lugar de 1.1 m3 en realidad estos contenedores ocupan 1.05 m3, los otros parámetros estaban bien estimados. Determinar cuál era la cantidad real de contenedores tipo I y II que debió haber llevado el buque para utilizar su capacidad completa de peso y volumen.
c) El sistema es bien o mal condicionado? Determine el número de condición.
Tema 1. El movimiento de una partícula en el plano, se encuentra representado por las ecuaciones paramétricas:
x(t) = 3 \sin ^{3}(t)-1 y(t) = 4 \sin (t)\cos (t) t \geq 0Donde x, y son las coordenadas de la posición expresadas en cm y t se expresa en segundos.
a) Demuestre que existe un instante t ∈ [0, π/2] tal que sus coordenadas x e y coinciden.
b) Empleando el método de Newton, aproxime con una precisión de 10-5 en qué instante de tiempo las dos coordenadas serán iguales en el intervalo dado en el literal a.
Referencias: Megaconstrucciones, El Tren InterUrbano | México – Toluca.
El Tunel debajo del agua entre Francia e Inglaterra