Evaluaciones – Página 4 – Métodos numéricos

2023-01-242023-01-26

2Eva_2022PAOII_T2 EDO – población de protestantes en una sociedad

2da Evaluación 2022-2023 PAO II. 24/Enero/2023

Tema 1. (35 puntos) En el libro titulado “Looking at History Through Mathematics”, Rashevsky propone un modelo que se puede relacionar con el “protestantismo” en el siglo XVI como una reacción y denuncia de abusos impuestos sobre la sociedad de la época.

En un modelo de Rashevsky modificado con la ecuación logística de Verhulst, la población x(t) de individuos en la sociedad para cada año t, con tasas de natalidad b=0.02 y mortalidad d=0.015, cambia según la ecuación:

\frac{\delta}{\delta t}x(t) = b x(t) - d (x(t))^2

x(0)=1

La cantidad de individuos “protestantes” y(t) en la población se incrementa según la ecuación diferencial compuesta de dos términos.

\frac{\delta}{\delta t}y(t) = b y(t) - d (y(t))^2 +r b (x(t)-y(t))

y(0)=0.01

El primer término supone que todas familias de padre y madre “protestantes” tienen hijos que también se identifican como tales.

El segundo término supone que una porción r = 0.1 de jóvenes descendientes de los “conformistas” al meditar sobre la situación actual, los hechos y los argumentos de protesta se convierten a “protestantes”.

a. Realice el planteamiento del ejercicio usando Runge-Kutta de 2do Orden

b. Desarrolle tres iteraciones para x(t), y(t) con tamaño de paso h=0.5.

c. Usando el algoritmo, aproxime la solución entre t=0 a t=200 años, adjunte sus resultados en la evaluación.

d. Realice una observación sobre el crecimiento de población y(t) a lo largo del tiempo.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Burden 5.2 Ejercicio 17 p276, Rashevsky, MIT 1968. pp102-110, Protestantismo https://es.wikipedia.org/wiki/Protestantismo. 3Eva_IIT2014_T2 Crecimiento demográfico. http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/3eva_iit2014_t2-crecimiento-demografico/

La Reforma protestante y Lutero. Academia Play. 27 agosto 2019

2023-01-242023-07-04

2Eva_2022PAOII_T1 Altura de cohete en 30 segundos

2da Evaluación 2022-2023 PAO II. 24/Enero/2023

Tema 1. (30 puntos) La velocidad hacia arriba de un cohete se calcula con la fórmula:

v = u \ln\Big(\frac{m_0}{m_0-qt}\Big) - gt

Donde:
v   = velocidad hacia arriba,
u   = 1800 m/s, velocidad a que se expele el combustible en relación con el cohete,
m₀ = 160 000 kg, masa inicial del cohete en el tiempo t = 0,
q    = 2 500 kg/s, tasa de consumo de combustible y
g    = 9.8 m/s2, aceleración de la gravedad

Para determinar la altura alcanzada por el cohete en un vuelo de 30 segundos desarrolle la parte analítica con los siguientes métodos y compare los resultados.

a. Utilice la regla de Simpson, en el planteamiento incluya la cantidad de tramos o segmentos a usar

b. Use el método de cuadratura de Gauss para la misma cantidad de segmentos que el literal anterior

c. Compare y comente los resultados, sobre los errores entre los métodos.

Rúbrica: Planteamiento de tramos (5 puntos), integral con Simpson (10 puntos), cuadratura de Gauss (10 puntos), literal c (5 puntos).

Referencia: Chapra ejercicio 24.46 p701. NASA y SpaceX realizan con éxito el despegue del primer vuelo de EE. UU. hacia la Estación Espacial Internacional en nueve años. EFE 30 mayo 2020 https://youtu.be/npcgpQUKAbg

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1Eva_2022PAOII_T3 Trayectoria de dron con polinomios

1ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 22/Noviembre/2022

Tema 3. (30 puntos) La simulación de drones consiste en modelar el comportamiento de un dron o vehículo aéreo no tripulado (VANT) y evaluar su rendimiento en un entorno virtual.

La simulación es un paso importante en el desarrollo de drones y permite comprender la dinámica de los drones antes de fabricar los prototipos.

Para un ejemplo simplificado en 2D, se requiere obtener una trayectoria simulada por polinomios para el dron pase por las marcas de tiempo y su coordenada mostrada.

ti = [0, 1, 2, 3, 4]
xti = [2, 1, 3, 4, 2]
yti = [0, 1, 5, 1, 0]

a. Describa el planteamiento del ejercicio, justificando el grado del polinomio seleccionado.

b. Realice el desarrollo analítico para un eje de posición en el tiempo usando el método de interpolación de Lagrange.

c. Desarrolle con el algoritmo otro eje del literal b y muestre sus resultados.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), algoritmo y resultados.txt (5 puntos), gráfica (5 puntos)

Referencias: [1] Deep Drone Acrobatics (RSS 2020). UZH Robotics and Perception Group. 11 de junio 2020.

[2] Los nuevos robots y drones agrícolas simplificarán el trabajo en el campo. Euronews. 2 Septiembre 2019.

2022-11-252022-11-25

1Eva_2022PAOII_T2 Admisión universitaria – cupos por recursos

1ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 22/Noviembre/2022

Tema 2. (35 puntos) Las instituciones de educación superior han comenzado a implementar un nuevo proceso para el registro de aspirantes a las universidades desde el 2023 [1].

Se rendirán dos exámenes: aptitudes, para evaluar el razonamiento lógico; y de conocimientos sobre materias base de la carrera a la que aspira.

Se requiere determinar la distribución de cupos en base a los costos relativos al promedio por estudiante para docencia, infraestructura y servicios mostrados en la tabla.

Costo referencial /carrera	Mecatrónica	Computación	Civil	Matemáticas
*Docencia*	1.5	0.9	0.6	0.7
*Infraestructura*	0.8	1.4	0.4	0.5
*Servicios*	0.45	0.55	1.1	0.5

Nota: Los valores de la tabla se establecen para el ejercicio y no corresponden a una referencia publicada.

En carreras como matemáticas de baja demanda, se establece el cupo de 10, mientras que para las demás depende de los otros parámetros referenciales. El total de recursos relativos al promedio por estudiante disponibles son docencia 271, infraestructura 250 y servicios 230.

a. Realice el planteamiento de un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de cupos de estudiantes por carrera que podrían ser admitidos con los recursos disponibles para el siguiente año.

b. Seleccione la variable libre considerando lo descrito para el caso dado y presente el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada.

c. Determine la capacidad usando un método Iterativo con una tolerancia de 10^-2. Realice tres iteraciones completas y revise la convergencia del método. Justifique la selección de un vector inicial para X₀.

Realice el desarrollo con el algoritmo y adjunte sus respuestas. De ser necesario comente sobre los valores encontrados.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), pivoteo por filas(5 puntos), iteraciones (10 puntos), análisis de convergencia (5 puntos), literal d (5 puntos).

Referencias: [1] Espol iniciará proceso de admisión este 21 de noviembre. Eluniverso.com – 19 de noviembre 2022. https://www.eluniverso.com/guayaquil/comunidad/espol-iniciara-proceso-de-admision-este-21-de-noviembre-nota/

[2] Durante la pandemia, Espol registró un aumento de estudiantes matriculados. Estas fueron las carreras con más demanda. Eluniverso.com – 9 de febrero 2022. https://www.eluniverso.com/guayaquil/comunidad/durante-la-pandemia-la-espol-registro-un-aumento-de-estudiantes-matriculados-estas-fueron-las-carreras-con-mas-demanda-nota/

[3] El presupuesto del Estado sube para 18 universidades. Primicias.ec – 18 de noviembre 2022. https://www.primicias.ec/noticias/economia/presupuesto-universidades-proforma/

[4] Así son las carreras más y menos demandadas en Ecuador. Elcomercio.com 21 de octubre de 2022. https://www.elcomercio.com/tendencias/sociedad/carreras-mas-menos-demandadas-ecuador.html

2022-11-252022-11-25

1Eva_2022PAOII_T1 Esfera flotando en agua

1ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 22/Noviembre/2022

Tema 1 (35 puntos) Según el principio de Arquímedes, la fuerza de flotación o empuje es igual al peso de el fluido desplazado por la porción sumergida de un objeto.

Para la esfera de la figura, determine la altura h de la porción que se encuentra sobre el agua considerando las constantes con los valores mostrados.

ρ_esfera= 200 Kg/m³
ρ_agua= 1000 kg/m³
r = 1 m
g =9.8 m/s²

Observe que la porción del volumen sobre el agua de la esfera puede ser determinado como la fórmula presentada.

F_empuje = ρ_aguaV_sumergido g
F_peso = ρ_esfera V_esferag

V_{sobreagua} = \frac{\pi h^2}{3}(3r-h)

Para el desarrollo del ejercicio use el método del punto fijo.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteraciones con el error (15 puntos), análisis de la convergencia (10 puntos). observación de resultados (5 puntos).

Referencia:
[1] Ejercicio 5.19. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7^th Edition.
[2] Fuerza de empuje y flotación. Ingenia UdeA. 29 Abril 2015

[3] Problema – Principio de Arquímedes y fuerza de empuje (Archimedes’ principle – problem). Problemas de Física.13 octubre 2019.

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3Eva_2022PAOI_T3 EDO Modelo de selección híbrida

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 3. (35 puntos) En genética, el modelo de selección híbrida representa la porción de la población que tiene ciertas características a lo largo del tiempo medido en generaciones (h=1).

Para una población de escarabajos, la rapidez de transferencia que una característica D pasa de una generación a la siguiente está dada por:

\frac{d}{dt}y(t) = k(1-y(t))(a-by(t))

Las constantes a, b y k dependen de las características genéticas estudiadas.

Al inicio del estudio, t=0, se encuentra que la mitad de la población tiene la característica D, y(0)=0.5. El factor k=0.26 considera la trasferencia al combinarse los especímenes “Sin D” y “con D”. Use los valores de a=2 y b=1.

a) Realice el planteamiento del problema de la Ecuación Diferencial Ordinaria usando el método de Runge-Kutta de 4to Orden

b) Desarrolle al menos tres iteraciones usando las expresiones completas.

c) estime la cota de error de la solución.

d) Adjunte el desarrollo completo usando un algoritmo con Python para las próximas 10 generaciones. tabla y gráfica.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), gráfica(5puntos)

Referencias: Larson. Cálculo aplicado, 7ma Ed. Apéndice C, ejemplo 4. https://college.cengage.com/mathematics/larson/calculus_applied/7e/students/appendices/appendix_c04.pdf
Los mecanismos del cambio. https://www.sesbe.org/evosite/evo101/IIIBMechanismsofchange.shtml.html

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3Eva_2022PAOI_T2 Perfil de sendero en montaña

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 2. (30 puntos) Una persona al recorrer un sendero de ascenso a una montaña, registra en la tabla mostrada, la distancia horizontal desde el punto de partida y la altura del nivel del mar.

Para resumir los datos del perfil de elevación en el sendero en la montaña, se prefiere una descripción mediante un polinomio de interpolación.

a) Plantear el o los polinomios de interpolación para las muestras presentadas para todo el intervalo de la tabla. Indique los criterios usados para el grado del polinomio y los puntos seleccionados que minimicen las distorsiones posibles por el grado polinomio.

b) Desarrolle las expresiones para los polinomios usando el método de Lagrange. (al menos dos polinomios)

c) Determine el error para el polinomio planteado sobre los datos.

d) Adjunte el desarrollo del ejercicio realizado con el algoritmo en Python.

Recorrido (Km)	0,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,2	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0
Altura (m)	4315	4447	4559	4692	4884	5201	5366	5310	5249	5175	5034	4787

Rúbrica: Literal a. criterios (6 puntos), literal b, (12 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Ascensión al Chimborazo (6.268m) Andes de Ecuador. Abril 29,2020. https://carrerasdemontana.com/2020/04/29/ascension-al-chimborazo/ ; El último hielero de Ecuador | DW Documental. 28 jul 2018 https://youtu.be/mESOZvOgs5k

xi = [0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.2,
      7.0, 8.0, 9.0, 10.0, 11.0]
yi = [4315, 4447, 4559, 4692, 4884, 5201, 5366, 
      5310, 5249, 5175, 5034, 4787]

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3Eva_2022PAOI_T1 Objeto no identificado entra y sale del agua

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 1. (35 puntos) Un objeto sin identificar sale y entra del agua describiendo una trayectoria descrita por la ecuación mostrada en el intervalo para x entre [0, π].

y(x) = e^{-x/3} \sin \Big(x^2 - \frac{\pi}{4} \Big)

Suponga que el nivel del agua se encuentra en y=0.

a) Encuentre un punto de ingreso al agua del objeto, usando el método de la bisección. Realice las expresiones numéricas completas para 3 iteraciones.

b) Determine un punto de salida del agua del objeto, usando el método del punto fijo. Realice las expresiones numéricas completas para 3 iteraciones. Analice la convergencia del método.

c) En cada caso muestre las cotas de error.

d) Adjunte el desarrollo de cada algoritmo en Python

Rúbrica: literal a, planteamiento e intervalo (3 puntos), tres iteraciones (6 puntos), literal b, planteamiento e intervalo (3 puntos), tres iteraciones (6 puntos). convergencia (9 puntos), literal c, (3 puntos). literal d (5 puntos)

Referencia: US releases UFO report with ‘no explanation’ for 143 sightings | DW News. 26 Junio 2021.

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2Eva_2022PAOI_T3 EDP parabólica barra enfriada en centro

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 3. (40 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica:

\frac{\partial U}{\partial t} - \frac{1}{9} \frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} = 0

0 \leq x \leq 2, t>0

Con las condiciones iniciales de borde e iniciales:

U(0,t) = U(2,t) = 0, t>0

U(x,0) = \cos \Big( \frac{\pi}{2}(x-3)\Big) , 0 \leq x \leq 2

Aplique un método numérico para encontrar los valores de U(x,t) usando Δx = 1/3, Δt = 0.02 y muestre:

a. La grafica de malla
b. Ecuaciones de diferencias divididas a usar
c. Encuentre las ecuaciones considerando las condiciones dadas en el problema.
d. Determine el valor de λ, agrupando las constantes durante el desarrollo, revise la convergencia del método.
e. Resuelva para tres pasos
f. Estime el error (solo plantear)
g. Usando el algoritmo, aproxime la solución para t=0.02 y t=0.1

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), aplicación de condiciones iniciales (5 puntos), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos). literal g, usando algoritmo (5 puntos)

Referencia: 2Eva_IT2017_T3 EDP parabólica http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/2eva_it2017_t3-edp-parabolica/

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2Eva_2022PAOI_T2 EDO de circuito RLC con interruptor intermedio

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 2. (30 puntos) El circuito de la figura 2a tiene el interruptor en posición cerrada por largo tiempo antes de t=0, con lo que la corriente en el inductor será de 2 Amperios, y(0)=2. Para t<0, el inductor opera como un conductor sin caída de voltaje, el capacitor está cargado a 10V y solo pasaría corriente por la resistencia de 5 Ohm.

En el tiempo t=0, el interruptor se abre de forma instantánea y el circuito cambia al modelo de la figura 2b.

La corriente del inductor y(t) para t≥0 está dada por la ecuación:

\frac{\delta}{\delta t}y(t) + 2 y(t) + 5 \int_{-\infty}^t y(\tau) \delta \tau = 10 \mu(t)

En t=0, luego de abrir el interruptor, los voltajes de la fuente y el capacitor son iguales. La corriente inicial sobre el resistor de 2 A genera un voltaje que se compensa con el voltaje del inductor pero en signo opuesto. Lo que implica que y’(0) = -4

V_{Inductor} = - V_{resistor}

y'(0) = -4

Derive la expresión de corrientes y(t) para obtener una ecuación diferencial ordinaria.

a) Realice el planteamiento del problema usando el método de Runge-Kutta de 2do orden para 2da derivada

b) Desarrolle las expresiones para al menos tres iteraciones usando h=0.01

c) Estime el valor del error.

d) Muestre el resultado con el algoritmo para el intervalo t entre [0,5] segundos

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Lathi B.P. Green R. Linear Systems and Signals, 3rd Edition. ejemplo 4.13 p364