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3Eva_2022PAOI_T1 Objeto no identificado entra y sale del agua

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 1. (35 puntos) Un objeto sin identificar sale y entra del agua describiendo una trayectoria descrita por la ecuación mostrada en el intervalo para x entre [0, π].

y(x) = e^{-x/3} \sin \Big(x^2 - \frac{\pi}{4} \Big)

Suponga que el nivel del agua se encuentra en y=0.

a) Encuentre un punto de ingreso al agua del objeto, usando el método de la bisección. Realice las expresiones numéricas completas para 3 iteraciones.

b) Determine un punto de salida del agua del objeto, usando el método del punto fijo. Realice las expresiones numéricas completas para 3 iteraciones. Analice la convergencia del método.

c) En cada caso muestre las cotas de error.

d) Adjunte el desarrollo de cada algoritmo en Python

Rúbrica:  literal a, planteamiento e intervalo (3 puntos), tres iteraciones (6 puntos), literal b, planteamiento e intervalo (3 puntos), tres iteraciones (6 puntos). convergencia (9 puntos), literal c, (3 puntos). literal d (5 puntos)

Referencia: US releases UFO report with ‘no explanation’ for 143 sightings | DW News. 26 Junio 2021.

Battleship (7/10) Movie CLIP – That’s a Hit (2012) HD

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2Eva_2022PAOI_T3 EDP parabólica barra enfriada en centro

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 3. (40 puntos) Use el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de la siguiente ecuación diferencial parcial parabólica:

\frac{\partial U}{\partial t} - \frac{1}{9} \frac{\partial ^2 U}{\partial x^2} = 0 0 \leq x \leq 2, t>0

Con las condiciones iniciales de borde e iniciales:

U(0,t) = U(2,t) = 0, t>0 U(x,0) = \cos \Big( \frac{\pi}{2}(x-3)\Big) , 0 \leq x \leq 2

Aplique un método numérico para encontrar los valores de U(x,t) usando Δx = 1/3, Δt = 0.02 y muestre:

a. La grafica de malla
b. Ecuaciones de diferencias divididas  a usar
c. Encuentre las ecuaciones considerando las condiciones dadas en el problema.
d. Determine el valor de λ, agrupando las constantes durante el desarrollo, revise la convergencia del método.
e. Resuelva para tres pasos
f. Estime el error (solo plantear)
g. Usando el algoritmo, aproxime la solución para t=0.02 y t=0.1

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), aplicación de condiciones iniciales (5 puntos), literal e (10 puntos), literal f (5 puntos). literal g, usando algoritmo (5 puntos)

Referencia: 2Eva_IT2017_T3 EDP parabólica http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/2eva_it2017_t3-edp-parabolica/

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2Eva_2022PAOI_T2 EDO de circuito RLC con interruptor intermedio

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 2. (30 puntos) El circuito de la figura 2a tiene el interruptor en posición cerrada por largo tiempo antes de t=0, con lo que la corriente en el inductor será de 2 Amperios, y(0)=2. Para t<0, el inductor opera como un conductor sin caída de voltaje, el capacitor está cargado a 10V y solo pasaría corriente por la resistencia de 5 Ohm.


En el tiempo t=0, el interruptor se abre de forma instantánea y el circuito cambia al modelo de la figura 2b.


La corriente del inductor y(t) para t≥0 está dada por la ecuación:

\frac{\delta}{\delta t}y(t) + 2 y(t) + 5 \int_{-\infty}^t y(\tau) \delta \tau = 10 \mu(t)

En t=0, luego de abrir el interruptor, los voltajes de la fuente y el capacitor son iguales. La corriente inicial sobre el resistor de 2 A genera un voltaje que se compensa con el voltaje del inductor pero en signo opuesto. Lo que implica que y’(0) = -4

V_{Inductor} = - V_{resistor} y'(0) = -4

Derive la expresión de corrientes y(t) para obtener una ecuación diferencial ordinaria.

a) Realice el planteamiento del problema usando el método de Runge-Kutta de 2do orden para 2da derivada

b) Desarrolle las expresiones para al menos tres iteraciones usando h=0.01

c) Estime el valor del error.

d) Muestre el resultado con el algoritmo para el intervalo t entre [0,5] segundos

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (15 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Lathi B.P. Green R. Linear Systems and Signals, 3rd Edition. ejemplo 4.13 p364

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2Eva_2022PAOI_T1 Comparar integrales numéricos Simpson y Cuadratura de Gauss

2da Evaluación 2022-2023 PAO I. 30/Agosto/2022

Tema 1. (30 puntos) Determine el área bajo la curva dada por la expresión mostrada para el intervalo de x entre [0,3]:

A = \int_0^3 \frac{e^x \sin(x)}{1+x^2} \delta x

Desarrolle el ejercicio mostrando las expresiones completas para integración numérica usando:

a) Un método de Simpson aplicado al menos dos veces para el intervalo del integral. Determine el tamaño de paso propuesto y el número de puntos necesario para usar un solo método.

b) El método de Cuadratura de Gauss de dos puntos, usando dos tramos en el intervalo.

c) Estime el error de integración para los literales a y b. Compare los resultados obtenidos.

Rúbrica: Literal a. tamaño de paso (5 puntos) expresiones correctas y completas (10 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos)

Referencia: Chapra 5Ed. ejercicio 22.14 p667

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1Eva_2022PAOI_T3 Interpolar crecimiento de contagios

1ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 5/Julio/2022

Tema 3. (35 puntos). Según los reportes epidemiológicos para el mes de junio-2022, se presenta un aumento de resultados positivos de COVID-19.

Un médico especialista indica que entre los motivos para transmisión y contagio se encuentran que no se usan las mascarilla y las aglomeraciones como las presentadas durante el paro nacional.

Para las últimas semanas, los resultados han pasado desde 1%, 5.6 %, 27 % y hasta 43.5 %.

Día del mes 1 8 15 22
Contagios 1 5.6 27 43.5

Para un análisis de comportamiento de contagios durante el mes, se requiere disponer de un polinomio de interpolación de grado 3 que describa el comportamiento de los contagios.

a) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones que se usaría usando el método de interpolación polinómica.

b) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada.

c) Desarrolle el pivoteo parcial por filas, indicando las operaciones realizadas en éste proceso

d) Usando el método directo de Gauss-Jordan, muestre las expresiones necesarias para el algoritmo.

e) Para el día 19 se encuentra que el valor correspondiente a contagios es de 37%. Estime el error presentado del modelo para ese día.

f) Desarrolle el ejercicio usando otro método para encontrar el polinomio de interpolación.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (2 puntos), literal c (5 puntos), eliminación hacia adelante (5 puntos), eliminación hacia atrás (5 puntos) literal e (3 puntos), literal f (10 puntos).

Referencias: El nivel de positividad para COVID-19 llega a un 40 %; ingresos hospitalarios son pocos, pero aglomeraciones por el paro ponen en alerta a epidemiólogos. Eluniverso.com 4-julio-2022.

https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/nivel-de-positividad-para-covid-19-llega-a-un-40-ingresos-hospitalarios-son-pocos-pero-aglomeraciones-en-el-paro-indigena-ponen-en-alerta-a-epidemiologos-nota/?modulo=destacadas-dos

Ligero incremento de casos de covid-19 en Ecuador. elcomercio.com 17-mayo-2022. https://www.elcomercio.com/tendencias/sociedad/ligero-incremento-casos-covid19-ecuador.html

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1Eva_2022PAOI_T2 Capacidad de alimentos para pacientes internos

1ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 5/Julio/2022

Tema 2. (35 puntos). Debido al un “paro nacional” en el país, varios productos de primera necesidad escasean o se encuentran con sobreprecio debido a los cierres de vías de acceso en varias ciudades.

En la entrevista a un representante de los comerciantes de un mercado advirtió que disponían de alimentos almacenados, pero que pronto podrían acabarse si no se reestablecen las vías de acceso para los suministros desde el campo.

En una institución como un hospital, se requiere alimentar a los pacientes internados. Dadas las condiciones, se requiere determinar el número de pacientes que se pueden atender con una cantidad limitada de productos diarios, para al menos tres tipos de dietas y aprovechando todos los ingredientes.

Producto\ Paciente Maternidad Pos – operatorio Covid_19 emergencia Suministro diario
Producto A 0.2 0.1 1.7 0.25 135
Producto B 0.5 2 0.05 0.4 320
Producto C 1.5 0.2 0.75 1.4 410

a) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de pacientes de cada grupo que podrían ser atendidos usando todos los productos disponibles. Una vez planteadas las ecuaciones, se le indica que la capacidad de atención para emergencia sea fija en K = 10 pacientes (variable libre).

Encuentre una solución sistema de ecuaciones con el método Jacobi. (Seleccione un vector inicial).

b) Muestre los pasos detallados para la matriz aumentada y pivoteo parcial por filas.

c) Desarrolle al menos 3 iteraciones para el método requerido, con expresiones completas.

d) Realice las observaciones necesarias sobre los errores entre iteraciones y la convergencia.

e) Si se decide no atender a los pacientes del grupo emergencias, ¿Qué aumento individual de cada una de otros grupos de pacientes podría soportarse con la cantidad diaria de alimento disponible? (use el algoritmo.py).

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (9 puntos), literal d (6 puntos), literal d (5 puntos) literal e (5 puntos)

Referencia: Paro nacional: Cuenca pasa por escasez y sobreprecio de productos de primera necesidad por bloqueos. Eluniverso.com. 15-junio-2022. https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/paro-nacional-cuenca-pasa-por-escasez-y-sobreprecio-de-productos-de-primera-necesidad-por-bloqueos-nota/

Comerciantes intentan tomarse supermercados en Cuenca, debido a desabastecimiento. Vistazo.com 27-junio-2022. https://www.vistazo.com/actualidad/nacional/comerciantes-intentan-tomarse-supermercados-en-cuenca-debido-a-desabastecimiento-FD2063623

Ecuador podrá recuperarse del paro en el segundo semestre de 2022. Primicias.ec 4-julio-2022.  https://www.primicias.ec/noticias/economia/ecuador-recuperacion-paro-nacional-segundo-semestre-banco-central/

 

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1Eva_2022PAOI_T1 Impacto en trayectoria del drone

1ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 5/Julio/2022

Tema 1 (30 puntos) La trayectoria automática de un drone espía en un territorio de guerra esta descrita por x1(t), y1(t).
Drone
x1(t) = cos(t)
y1(t) = sin(2 t)

Antidrone
x2(t) = sin(0.75 t)
y2(t) = k t

Durante un intervalo de tiempo t entre [0,10] segundos, se dispara un misil antidrone con trayectoria descrita por x2(t), y2(t). El antidrone tiene un parámetro de control constante denominado k para y2(t) que se establece antes del disparo.

Encuentre el valor de k que produce el impacto que destruye el Drone.

Para que se produzca el impacto, deben coincidir las coordenadas x,y para ambas trayectorias, al mismo valor de tiempo.

a) Realice el planteamiento del problema usando inicialmente las trayectorias en el eje x, donde para el intervalo de operación del misil antidrone, se observa más de un impacto.

b) Usando el método de Newton-Raphson encuentre el valor de t en el cual se pretende realizar el impacto al drone. Realice al menos 3 iteraciones de forma analítica, use tolerancia de 10-4,

c) Realice el análisis de la convergencia del método.

d) Con el resultado de t anterior, determine el valor de la constante k para la expresión de y2(t) que asegura el impacto contra el drone.

Rúbrica: literal a (5 puntos), iteraciones (9 puntos), errores entre iteraciones(6 puntos), análisis de convergencia(5 puntos), literal d(5 puntos)

Referencia: Domo de Hierro, así funciona el escudo antimisiles de Israel. CNN en español. 15-mayo-2021. https://www.youtube.com/watch?v=idikebBCXA0

Lo que hay que saber sobre los misiles hipersónicos disparados por Rusia contra Ucrania. cnnespanol.cnn.com 10-mayo-2022. https://cnnespanol.cnn.com/2022/05/10/misiles-hipersonicos-rusia-ucrania-trax/

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3Eva_2021PAOII_T4 Arena y grava de canteras

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 4. (20 puntos) Un ingeniero civil que trabaja en la construcción requiere 4800, 5800 y 5700 m3 de arena, grava fina, y grava gruesa, respectivamente, para cierto proyecto constructivo.

Hay tres canteras de las que puede obtenerse dichos materiales.

La composición de dichas canteras es la que sigue:

Arena % Grava fina % Grava gruesa %
Cantera 1 25 45 30
Cantera 2 55 30 15
Cantera 3 25 20 55

¿Cuántos metros cúbicos deben extraerse de cada cantera a fin de satisfacer las necesidades del ingeniero?

a) Plantear el problema usando las ecuaciones y representación matricial para usar un método iterativo,

b) Presentar la matriz ampliada y realice el pivoteo parcial por filas,

c) Seleccionar un vector inicial acorde con el ejercicio (evite usar el vector cero)

d) Realice al menos 3 iteraciones con un método iterativo para la solución de sistemas de ecuaciones. Identifique claramente el método a usar y en cada iteración debe escribir las expresiones completas que permitan verificar el uso del método.

e) Determine y justifique si el método converge

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (3 puntos), literal c (3puntos), literal d (8 puntos), literal e (3 puntos)

Referencia: Chapra (2006) 5Ed. problema 12.13 p342.
Canteras de la vía a la costa tienen hasta el 31 de diciembre para mostrar su permiso ambiental. eluniverso.com. 7/junio/2019. https://www.eluniverso.com/guayaquil/2019/06/17/nota/7381902/canteras-tienen-hasta-31-diciembre-mostrar-su-permiso-ambiental/

tabla = [[25,45,30],
         [55,30,15],
         [25,20,55]]
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3Eva_2021PAOII_T3 interpolar cadena desenrollando y cayendo

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 3. (20 puntos) Para simplificar la ecuación que describe la cantidad de cadena que se desenrolla en las condiciones del tema anterior, se han obtenido datos experimentales descritos en la tabla presentada.

ti 0.0 0.1 0.2 0.25 0.35 0.45 0.5 0.6
xi 3.0 3.0601 3.2426 3.3818 3.7632 4.2951 4.6239 5.4237
ti 0.7 0.8 0.85 0.95 1
xi 6.4405 7.7149 8.4642 10.2245 11.2531

Realice un polinomio de interpolación de grado 4 para el Intervalo entre x0= 3 y la longitud de la cadena L=8

a) Identifique los pares ordenados a usar en la interpolación

b) Seleccione un método de interpolación apropiado para las condiciones dadas, justifique.

c) Desarrolle el método de interpolación, usando expresiones completas que muestre el uso de los pares seleccionados en el literal a.

d) Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo

e) Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), literal c (10 puntos), literal d (2 puntos). literal e (3 puntos).

ti = [0, 0.1, 0.2, 0.25, 0.35, 0.45, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.85, 0.95, 1]
xi = [3, 3.06, 3.2426, 3.3818, 3.7632, 4.2951, 4.6239, 5.4237, 6.4405, 7.7149, 8.4642,10.2245,11.25]
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3Eva_2021PAOII_T2 EDO cadena desenrollando y cayendo

3ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 8/Febrero/2022

Tema 2. (30 puntos) Cadena cayendo. Una parte de una cadena de L= 8pies de longitud está enrollada sin apretar alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal y la parte restante de la cadena cuelga descansando sobre el borde de la plataforma. Por simplicidad, use g=32 pies/s2.

Suponga que la longitud de la cadena que cuelga es de X0=3 pies, que la cadena pesa 2 lb/pie y que la dirección positiva es hacia abajo.

Comenzando en t=0 segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso.

Si x(t) denota la longitud de la cadena que cuelga de la mesa al tiempo t=0, entonces v=dx/dt es su velocidad.  V0=0

Cuando se desprecian todas las fuerzas de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x está dado por la ecuación mostrada.

\frac{\delta^2 x}{\delta t^2 } - \frac{g}{L} x=0

0≤x≤L

a) Resuelva v(x) usando Runge-Kutta, considere h=0.05

b) Aproxime el tiempo que tarda el resto de la cadena en deslizarse de la plataforma.

c) Estime la velocidad a la cual el extremo de la cadena sale del borde de la plataforma.

Rúbrica: Planteamiento del problema(5 puntos), plantear el método (5 puntos), literal b, iteraciones (10 puntos), valor del tiempo (5 puntos). literal c (5 puntos).

Referencias: Cadena cayendo: Zill Dennis, Ecuaciones Diferenciales 9Ed, Ejercicios 45 p.69 Cadena cayendo. Zayas Martín, Una Física Simplificada (min[30-34]) https://youtu.be/dPn_ggi6zx0?t=1802 ,
Tripulación de barco pierde control de un ancla y provoca accidente.