Evaluaciones – Página 6 – Métodos numéricos

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2Eva_2021PAOII_T1 Promedio de precipitación de lluvia en área

2da Evaluación 2021-2022 PAO II. 25/Enero/2022

Tema 1 (30 puntos) Un mapa asociado al clima muestra los resultados de precipitación que dejó a su paso el Huracán Karl en el año 2010.

Se registró entre 4 a 8 pulgadas de lluvia. El área en observación tiene una extensión de 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur.

f(xi,yj)
i \ j	1	2	3	4	5	6
1	0.02	0.36	0.82	0.65	1.7	1.52
2	3.15	3.57	6.25	5	3.88	1.8
3	0.98	0.98	2.4	1.83	0.04	0.01
4	0.4	0.04	0.03	0.03	0.01	0.08

Para las mediciones, se divide el área del mapa en 6 tramos para el eje x, 4 tramos para el eje y, con lo que se encuentran los valores presentados en la tabla.

a) Determine los valores para Δx, Δy.

b) Estime al promedio de precipitación lluviosa en toda el área para los datos registrados para dos días, usando la forma compuesta de Simpson.

f_{promedio} = \frac{1}{A_R} \int \int_R f(x,y) \delta x \delta y

c) Calcule el error del integral

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b, con expresiones detalladas para cada eje (20 puntos), literal d (5 puntos)

Referencia: Stewart. Calculus Example 15.1.10: Calculating Average Storm Rainfall.

A = [[0.02, 0.36, 0.82, 0.65, 1.7 , 1.52],
     [3.15, 3.57, 6.25, 5.  , 3.88, 1.8 ],
     [0.98, 0.98, 2.4 , 1.83, 0.04, 0.01],
     [0.4 , 0.04, 0.03, 0.03, 0.01, 0.08]]
base = 300
altura = 250

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1Eva_2021PAOII_T3 Nutrientes en asociación de cultivos

1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021

Tema 3. (40 puntos) La asociación de cultivos es la siembra de dos o más especies vegetales muy próximas entre sí, de tal manera que una o ambas pueden obtener tales como la mejora de la productividad, control de plagas, la prevención de enfermedades o adquirir un mejor sabor.

Los beneficios se obtienen a través de la absorción de nutrientes o de cambios en el medio ambiente.

Una forma de medir la absorción de un nutriente de cada especie por ciclo de cultivo es cambiar la cantidad de especies vegetales en distintas parcelas. La diferencia de un nutriente entre el fin e inicio del cultivo se encuentra mostrada en la siguiente tabla.

plátano	café	cacao	Absorción de nutriente
40	110	310	750
400	15	25	445
200	560	310	10

a. Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones, presente en la forma Ax=B.

b. De ser necesario, realice operaciones con la matriz aumentada para mejorar la convergencia con un método iterativo.

c. En el contexto del problema, proponga un vector inicial y tolerancia.

d. Realice 3 iteraciones con el método de Gauss-Seidel y estime el error (papel y lápiz)

e. Describa y justifique su observación sobre la convergencia del método y estime una descripción de los resultados.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), iteraciones (15 puntos) cálculo de error(5 puntos), literal d(5 puntos)

Referencia: Asociación de cultivos https://huertocity.com/index.php/asociacion-de-cultivos/
Tabla Asociación de cultivos: 12 ejemplos, importancia. https://ingenieriaambiental.net/asociacion-de-cultivos/

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1Eva_2021PAOII_T2 Intersección de funciones – Obstrucción Radioenlace

1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021

Tema 2. (30 puntos) En un enlace radioeléctrico, se denomina “Zona de Fresnel” al espacio entre un emisor y receptor debe estar libre para minimizar atenuaciones a la onda de propagación.

Una obstrucción es una parte del perfil del terreno que se encuentra dentro de la Zona de Fresnel. El perfil del terreno es la expresión del polinomio del tema anterior P₃(d₁) en el intervalo [0,1300].

Cuando las antenas del transmisor y receptor se encuentran a la misma altura, la parte inferior del lóbulo, f(d₁), se determina a partir de las siguientes fórmulas:

Considere los valores de las constantes h_antena= 100 m, n =1, λ=0.3278, d_enlace=3700 m

Para analizar la obstrucción, se debe determinar los puntos de intersección entre P₃(d₁) y f(d₁)

a. Establezca un intervalo de análisis para cada raíz.

b. Realice al menos 3 iteraciones con el método de la Bisección para encontrar la primera raíz (izquierda)

c. Desarrolle al menos 3 iteraciones con el método del Punto fijo para encontrar el segundo punto (derecha)

d. Realice al menos 3 iteraciones con el método de Newton-Raphson para determinar la altura del perfil que genera el mayor obstáculo dentro del intervalo (altura máxima).

Rúbrica: literal a (4 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (6 puntos)

Referencia: Zona de Fresnel, https://youtu.be/v371pPLdf_c

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1Eva_2021PAOII_T1 Interpolación para perfil de terreno

1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021

Tema 1. (30 puntos) Para el diseño de los enlaces radioeléctricos “punto a punto” se analiza “Zona de Fresnel” que para una buena propagación de señal debe estar libre de obstrucciones.

La altura o perfil del terreno muestra la sección que produce atenuación en la señal del enlace.

La tabla muestra el perfil para un enlace donde se requiere analizar el intervalo entre 0 y 1300 metros desde la antena ubicada en el extremo izquierdo.

distancia d1	0	350	700	1000	1300	1600	2000	3000	3300	3500	3700
Perfil de Terreno	85	95	90	80	75	70	20	25	42	21	71

a. Plantee y desarrolle un polinomio P₃(d₁) de grado 3, que describa el perfil del terreno en el intervalo [0,1300] de distancias a la primera antena d₁.
b. Calcule el error sobre el o los datos que no se usaron en el intervalo
c. Desarrolle y justifique una propuesta para disminuir los errores encontrados en el literal anterior, sobre el mismo intervalo, es decir obtiene un nuevo polinomio (use algoritmo).
d. Escriba sus conclusiones y recomendaciones sobre los resultados obtenidos entre los dos polinomios.

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (4 puntos), literal c (10 puntos), literal d (6 puntos)

Referencia: Zona de Fresnel. https://es.wikipedia.org/wiki/Zona_de_Fresnel

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3Eva_2021PAOI_T4 Integral con Cuadratura Gaussiana

3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

Tema 4 (30 puntos) Aproximar el siguiente integral usando Cuadratura Gaussiana

\int_0^{\pi/4} x^2 \sin (x) \delta x

a) Usado dos segmentos o tramos, y para dos puntos, n=2

b) compare sus resultados con n=3

c) Calcule error entre resultados

Referencia: Burden 8th Edition. Ejercicios 4.7 d.

Rúbrica: Planteo del ejercicio (5 puntos), literal a, con expresiones y valores completos (10 puntos), literal b, con n=3 (10 puntos). literal c (5 puntos).

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3Eva_2021PAOI_T3 Respuesta a entrada cero en un sistema LTIC

3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

Tema 2 (30 puntos) Para un circuito eléctrico mostrado en la figura, conocido también como un sistema LTIC (lineal contínuo invariante en el tiempo), la “respuesta a entrada cero” corresponde al comportamiento de la corriente y(t) cuando no se aplica una señal de entrada x(t) = 0.

La expresión que describe la relación de entrada x(t) y salida y(t) que permite analizar el sistema en un intervalo de tiempo es:

\frac{\delta^2 y(t)}{\delta t^2}+3 \frac{\delta y(t)}{ \delta t}+2 y(t) = \frac{\delta x(t)}{\delta t} =0

Los componentes inductores y capacitores almacenan energía representada como condiciones iniciales y₀(t) =0 , y’₀(t) =-5

Considere como de interés el intervalo de tiempo entre [0,6] con al menos 60 tramos.

a) Realice el planteamiento para encontrar y(t) con las condiciones dadas, usando el método de Runge-Kutta de 2do orden

b) Desarrolle tres iteraciones con expresiones y valores, mostrando el uso del método anterior.

Referencia: Lathi B.P and Green R.A.(2018). Capítulo 2.1 p151.Linear Systems and Signals Third Edition. Oxford University Press.
http://blog.espol.edu.ec/telg1001/ltic-respuesta-entrada-cero-con-python/

Rúbrica: Planteo de ejercicio para el método requerido (5 puntos), tamaño de paso (5 puntos), iteraciones completas (15 puntos), desarrollo algorítmico, gráfica (5 puntos)

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3Eva_2021PAOI_T2 Tensiones mínimas en cables por carga variable

3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

Tema 2 (20 puntos) Continuando con el ejercicio del tema anterior de la carga con dos cables, se requiere encontrar:

a) El valor de θ para el cual la tensión en los dos cables es la mínima posible. Use un algoritmo para encontrar las raíces, es decir T_CA=T_CB

b) Desarrolle al menos 2 iteraciones

c) El valor correspondiente de la tensión.

Nota: Plantear la solución del problema anterior como una función en Python, para usarla como parte del desarrollo de éste tema

Rúbrica: Planteamiento completo del ejercicio (5 puntos), desarrollo de expresiones (10 puntos), literal b (5 puntos)

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3Eva_2021PAOI_T1 Tensiones en cables por carga variable

3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

Tema 1 (20 puntos) Una carga P está sostenida por dos cables como se muestra en la figura.

Las ecuaciones de equilibrio del sistema corresponden a:

\sum^n{F_x = 0}

-T_{CA} \cos (\alpha) + T_{CB} \cos (\beta) + P \sin (\theta) = 0

\sum^n{F_y = 0}

T_{CA} \sin (\alpha) + T_{CB} \sin (\beta) - P \cos (\theta) = 0

Se requiere determinar la tensión en cada cable para cualquiera de los valores de P y θ que se encuentran desde θ₁=β-90° hasta θ₂=90°- α , con incrementos dados Δθ.

Usando un algoritmo numérico con método directo para solución de un sistema de ecuaciones, determine para los siguientes conjuntos de números: La tensión en cada cable para los valores de θ que van de θ₁ a θ₂.

α = 35°, β = 75°, P = 400 lb, Δθ = 5°
α = 50°, β = 30°, P = 600 lb, Δθ = 5°
α = 40°, β = 60°, P = 2500 lb, Δθ = 5°

Nota: Observe que los valores de ángulos están presentados en grados sexagesimales

Referencia: Ferdinand P. Beer, E. Johnston, E. Eisenberg. 9va Ed. Cap2. Ejercicio 2.C4 Mecánica vectorial para ingenieros – Estática

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), desarrollo del método directo (10 puntos), algoritmo (5 puntos)

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2Eva_2021PAOI_T3 EDP Elíptica con valores en la frontera f(x) g(y)

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 3 (40 puntos) Considere la siguiente ecuación diferencial parcial con valores en la frontera (PVF):

\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

0 \lt x \lt \frac{1}{2}, 0 \lt y\lt \frac{1}{2}

u(x,0)=0, 0 \leq x \leq \frac{1}{2}

u(0,y)=0 , 0\leq y \leq \frac{1}{2}

u\Big(x,\frac{1}{2} \Big) = 200 x , 0 \leq x \leq \frac{1}{2}

u\Big(\frac{1}{2} ,y \Big) = 200 y , 0 \leq y \leq \frac{1}{2}

Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución del PVF anterior tomando como tamaño de paso

h=k=\frac{1}{6}

Recuerde: presentar la malla, etiquetando cada eje con valores referenciales de los puntos seleccionados, presentar el planteamiento completo del ejercicio, usar expresiones completas en el desarrollo de cada uno de los pasos.

Rúbrica: Aproximación de las derivadas parciales (5 puntos), construcción de la malla (10), construcción del sistema lineal (20), resolución del sistema (5 puntos).

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2Eva_2021PAOI_T2 EDO para cultivo de peces

2da Evaluación 2021-2022 PAO I. 31/Agosto/2021

Tema 2 (30 puntos) “La tilapia es un pescado que muestra crecimiento en su consumo” y producción en el país.

La actual situación comercial es estable y sin bajas en el precio.

“Santo Domingo es una provincia con una buena cantidad de piscinas para su cultivo. Aunque lo comercializan al fresco, ya que no tienen el equipo para empacar para exportación.”

Suponga una piscina de cultivo donde no existen depredadores y con alimento suficiente para que los peces no luchen por la comida.

Los peces se capturan a intervalos periódicos descritos por la función h(t) mostrada, con a=0.9 y b=0.75, constantes a > b y t>0 el tiempo en años.

h(t) = a + b \sin (2 \pi t)

Se supone que los peces crecen con un ritmo proporcional a su población, entonces la ecuación diferencial dy/dt modela la población de tilapias en el tiempo y r=1 la tasa neta de crecimiento sin captura. Suponga y(0) =1

\frac{\delta y(t)}{\delta t} = r y(t)-h(t)

a) Realice el planteamiento de la solución usando Runge-Kutta 4to orden, para n=12 meses o tramos.

b) Aproxime considerando h=1/12 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden, escriba las expresiones completas para los cálculos.

c) Usando el algoritmo, determine si el negocio de cultivo de tilapia con la estrategia de captura h(t) es sostenible en el tiempo. Recomiende y justifique sus conclusiones observando el comportamiento para al menos 2 años (24 meses).

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), uso del método de 4to orden (10 puntos), iteraciones con método de segundo orden (10 puntos). literal c (5 puntos)

Referencia: El consumo de la tilapia, más económica que la carne, crece en Ecuador. Eluniverso.com. Septiembre 5,2018. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/09/05/nota/6938243/consumo-tilapia-mas-economica-que-carne-crece-ecuador/
Como empezar un Cultivo de Peces – Piscicultura – TvAgro por Juan Gonzalo Angel. https://www.youtube.com/watch?v=97qIOpSpXCs