Para visualizar el concepto de Cuadratura de Gauss de dos puntos considere lo siguiente:

Se tiene un corte transversal del un recipiente rectangular lleno de líquido limitado en x entre [-1,1], al que se le ha depositado encima otro recipiente con perfil f(x) = x² hasta que reposan sus extremos en x[-1,1].

La altura de ambos recipientes es la misma.

La superficie entre f(x) y el eje x es el integral de f(x) en el intervalo.

Si suponemos que la figura es el corte transversal de una vasija y la parte en amarillo es líquida, la vasija ha desplazado el líquido que ocupa ahora el «área» mostrada en la gráfica que corresponde al integral de f(x)=x². entre [-1,1].

Ahora, suponga que se perfora el perfil de f(x) en dos puntos equidistantes cercanos  x=0. Los orificios permitirían el desplazamiento del liquido al interior de f(x) que dejando pasar suficiente tiempo, perimitiría tener todo el líquido en el recipiente rectangular entre [-1,1] como una línea horizontal.

Podría medir la altura que tiene el líquido y que tiene un equivalente en un punto f(x1). Debería encontrar el valor de x1 que permite disponer del mismo valor entre el área debajo de f(x) y el rectángulo del corte transversal amarillo ahora formado.

Se usa el resultado analítico del integral restando el área del rectángulo obtenido al evaluar la funcion f(x) entre [0,1], teniendo un problema de busqueda de raíces. Obtenemos el valor de x1.

Se muestra que el área bajo f(x) es equivalente al área del rectángulo conformado.

Si  utilizamos el desplazamiento horizontal desde el centro para un punto encontrado como un «factor», tendremos que el área del rectángulo se mantendría equivalente, y el desplazamiento proporcional a la mitad del intervalo si se varía el intervalo de observacion. Este factor coincide con el factor de Cuadratura de Gauss de dos puntos.

funcion  fx:   x**2
Integral Fx:   x**3/3
I analitico:   0.6666666666666666
I aproximado:  0.6666666666654123
desplaza centro:   0.5773502691890826
factor desplaza:   0.5773502691890826
Factor CuadGauss:  0.5773502691896258
erradoFactor:    1.2545520178264269e-12
error integral:  1.2543299732215019e-12

El error del integral es del orden de 10^-12

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Cambiamos la figura geométrica a un trapecio generado por la recta que pasa por los puntos xi desplazados desde el centro.

Usamos la función f(x) = x² + x + 1, observaremos si los resultado son equivalentes.

La figura al inicio del experimento será:

Luego de realizar realizar el mismo cálculo anterior usando un equivalente a trapecio se tiene:

con valores numéricos:

funcion  fx:   x**2 + x + 1
Integral Fx:   x**3/3 + x**2/2 + x
I analitico:   2.6666666666666665
I aproximado:  2.6666666666654124
desplaza centro:   0.5773502691890826
factor desplaza:   0.5773502691890826
Factor CuadGauss:  0.5773502691896258
erradoFactor:    1.2545520178264269e-12
error integral:  1.2541079286165768e-12

El error del integral es también del orden de 10^-12, además observe que el factor de cuadratura de Gauss se mantiene.

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Tarea

Realice el experimento usando un polinomio de grado superior y observe los errores para el integral y las diferencia con el coeficiente de Cuatratura de 2 puntos.

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Algoritmo con Python

Para resumir la cantidad de instrucciones, se usa el método de la bisección desde la librería scipy y el subgrupo de funciones de optimización.

Los cálculos para realizar las gráficas se tratan en un bloque luego de mostrar los resultado principales.

# Integración: Cuadratura de Gauss de dos puntos
# modelo con varios tramos entre [a,b]
# para un solo segmento.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym
import scipy.optimize as op

# INGRESO
x = sym.Symbol('x')

# fx = (x)**2
fx = x**2 + x + 1
# fx = 0.2 + 25.0*x-200*(x**2)+675.0*(x**3)-900.0*(x**4)+400.0*(x**5)

a = -1
b = 1
muestras = 51
tolera = 1e-12
iteramax = 100

# PROCEDIMIENTO
# Desarrollo analítico con Sympy
Fx = sym.integrate(fx,x)
Fxn = sym.lambdify('x',Fx,'numpy')
Fiab = Fxn(b)-Fxn(a)

# Busca igualar trapecio con Integral analitico
fxn = sym.lambdify('x',fx,'numpy')
base = b-a
mitad = base/2
xc = (a+b)/2  # centro
diferencia = lambda x: Fiab-base*(fxn(xc-x)+fxn(xc+x))/2
desplazado =  op.bisect(diferencia,0,mitad,
                        xtol=tolera,maxiter=iteramax)
factor = desplazado/mitad

# Integral aproximando con trapecio
x0 = xc - factor*mitad
x1 = xc + factor*mitad
Faprox = base*(fxn(x0)+fxn(x1))/2

# Integral cuadratura Gauss
xa = xc + mitad/np.sqrt(3)
xb = xc - mitad/np.sqrt(3)
FcuadG = base*(fxn(xa)+fxn(xb))/2
erradofactor = np.abs(FcuadG - Faprox)
erradoIntegral = np.abs(Fiab-Faprox)
# SALIDA
print('funcion  fx:  ', fx)
print('Integral Fx:  ', Fx)
print('I analitico:  ', Fiab)
print('I aproximado: ', Faprox)
print('desplaza centro:  ', desplazado)
print('factor desplaza:  ', factor)
print('Factor CuadGauss: ', 1/np.sqrt(3))
print('erradoFactor:   ', erradofactor)
print('error integral: ', erradoIntegral) 

# Grafica
# Para GRAFICAR 
# Para gráfica f(x)
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fxn(xi)

# Para gráfica Trapecio
m = (fxn(x1)-fxn(x0))/(x1-x0)
trapeciof = lambda x: fxn(x0)+m*(x-x0)
trapecioi = trapeciof(xi)

# Areas Trapecio para cada punto que busca
k = int(muestras/2)
xicg = xi[k:muestras-1]
Fcg = [base*(fxn(xi[k+0])+fxn(xi[k-0]))/2]
for i in range(1,k,1):
    untrapecio = base*(fxn(xi[k+i])+fxn(xi[k-i]))/2
    Fcg.append(untrapecio)

# Punto buscado
Fiaprox = base*(fxn(x1)+fxn(x0))/2

Fi = Fxn(xi)-Fxn(a)

# Areas de curvas y trapecio

plt.subplot(211) # Grafica superior
plt.xlim(a,b)
plt.plot(xi, fi, label='f(x)')
# Solo fi
# plt.fill_between(xi,0, fi,
#                label='integral fi',
#                 color='yellow')
# usando cuadratura
plt.fill_between(xi,0, trapecioi,
                 label='Cuadratura 2 puntos',
                 color='yellow')
plt.axvline(x0,color='white')
plt.axvline(x1,color='white')
plt.plot([x0,x1],[fxn(x0),fxn(x1)],
         'ro', label='x0,x1')
plt.axvline(0,color='black')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y Cuadratura de 2 puntos')
plt.legend()

# Valores de integrales
plt.subplot(212) # Grafica inferior
plt.xlim(a,b)
plt.axhline(Fiab, label='F[a,b]')
# plt.plot(xi,Fi,label='F(x)')
plt.plot(xicg,Fcg,color='orange',label='Aprox Trapecio')

plt.axvline(x1,color='yellow')
plt.axvline((1/np.sqrt(3))*(b-a)/2 + xc ,color='magenta')
plt.plot(x1,Fiaprox,'ro', label='x0,x1')
plt.axvline(0,color='black')

plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.ylabel('Integrando')
plt.show()

Referencia: Chapra 22.3 p655 pdf679, Rodriguez 7.3 p294, Burden 4.7 p220 pdf230

La cuadratura de Gauss aproxima el integral de una función en un intervalo [a,b] centrado en cero mediante un cálculo numérico con menos operaciones y evaluaciones de la función. Se representa como una suma ponderada:

I \cong c_0f(x_0) + c_1f(x_1)

para la fórmula de dos puntos se tiene obtiene:

c_0 = c_1 = 1 x_0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}

para un intervalo de evaluación desplazado en el eje x se requiere convertir los puntos al nuevo rango. Se desplaza el punto cero al centro del intervalo [a,b] y se obtiene:

x_a = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}x_0 x_b = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}x_1

con lo que el resultado aproximado del integral se convierte en:

I \cong \frac{b-a}{2}(f(x_a) + f(x_b))

cuya fórmula es semejante a una mejor aproximación de un trapecio, cuyos promedios de alturas son puntos internos de [a,b], concepto mostrado en la gráfica.

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Video tutorial

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Ejercicio

El algoritmo se desarrolla en un tramo en el intervalo [a,b] junto a la gráfica para mostrar el concepto. Para el ejemplo el integral buscado es:

\int_1^3 \sqrt{x} \sin(x) dx

que usando cuadratura de Gauss con un solo intervalo[a,b] tiene como resultado:

Integral:  2.03821975687
>>>

el resultado se puede mejorar aumentando el número de tramos en el intervalo [a,b]. Por ejemplo, el resultado usando 4 tramos el resultado es semejante al usar el método del trapecio con 128 tramos, lo que muestra el ahorro en calculos entre los métodos

Integral:  2.05357719003
>>> 

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Algoritmo con Python

Instrucciones usando la cuadratura de Gauss como una función

# Integración: Cuadratura de Gauss de dos puntos
# modelo con varios tramos entre [a,b]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# cuadratura de Gauss de dos puntos
def integraCuadGauss2p(funcionx,a,b):
    x0 = -1/np.sqrt(3)
    x1 = -x0
    xa = (b+a)/2 + (b-a)/2*(x0)
    xb = (b+a)/2 + (b-a)/2*(x1)
    area = ((b-a)/2)*(funcionx(xa) + funcionx(xb))
    return(area)

# INGRESO
fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)

# intervalo de integración
a = 1
b = 3
tramos = 4

# PROCEDIMIENTO
muestras = tramos+1
xi = np.linspace(a,b,muestras)
area = 0
for i in range(0,muestras-1,1):
    deltaA = integraCuadGauss2p(fx,xi[i],xi[i+1])
    area = area + deltaA
# SALIDA
print('Integral: ', area)

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Gráfica por tramos

La gráfica que complementa el resultado anterior, se realiza añadiendo las intrucciones presentadas a continuación.

Considere que la gráfica es útil con pocos tramos en el intervalo[a,b]

# GRAFICAR por cada Segmento
# para concepto con pocos segmentos
x0 = -1/np.sqrt(3) 
x1 = 1/np.sqrt(3)

# arregos para gráficas
xi = np.array([])
fi = np.array([])

xat = np.array([])
xbt = np.array([])

recta = np.array([])

muestrastramo = 10
subtramo = np.linspace(a,b,muestras)

for i in range(0,tramos,1):
    at = subtramo[i]
    bt = subtramo[i+1]
    
    xit = np.linspace(at,bt,muestrastramo)
    fit = fx(xit)
    
    xi = np.concatenate((xi,xit))
    fi = np.concatenate((fi,fit))

    # puntos xa y xb por tramo
    xa = (bt+at)/2 + (bt-at)/2*(x0)
    xb = (bt+at)/2 + (bt-at)/2*(x1)
    
    xat = np.concatenate((xat,[xa]))
    xbt = np.concatenate((xbt,[xb]))
    
    # Recta entre puntos x0 y x1 por tramo
    m = (fx(xb)-fx(xa))/(xb-xa)
    b0 = fx(xa)- m*xa
    linea = b0 + m*xit
    recta = np.concatenate((recta,linea))

# Marcadores 'o' de xa y xb por tramos
puntox = np.concatenate((xat,xbt))
puntoy = fx(puntox)

# Graficando
# Trazado de lineas
plt.plot(xi,recta, label = 'grado 1', color = 'tab:orange')
plt.fill_between(xi,0,recta, color='tab:olive')
plt.plot(xi,fi, label='f(x)', color = 'blue')

# Verticales para dividir los tramos
for j in range(0,len(subtramo),1):
    plt.axvline(subtramo[j], color='tab:gray')
    
# Marcadores de puntos xa y xb por tramos
for j in range(0,len(xat),1):
    plt.axvline(xat[j], color='w')
    plt.axvline(xbt[j], color='w')
    
plt.plot(puntox,puntoy, 'o', color='g')

plt.title('Integral: Cuadratura Gauss')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()

plt.show()

Referencia: Chapra 21.2.1 p631 pdf655, Burden 4.2 p192 pdf202, Rodriguez 7.1.4 p281

Es el resultado cuando se realiza una interpolación con polinomio de segundo grado.

I = \int_a^b f(x) \delta x \cong \int_a^b f_2 (x) \delta x

Usando un polinomio de Lagrange de segundo grado:

I = \int_{x_0}^{x_2} \bigg[ \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} f(x_0) + + \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} f(x_1) + + \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} f(x_2) \bigg] \delta x

que tiene como resultado para un solo tramo:

I\cong \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + f(x_2)]

siendo

h=\frac{b-a}{2}

Error de truncamiento

la cota del error de truncamiento se estima como O(h⁵)

error_{trunca} = -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(z)

para un valor de z entre [a,b]

para cuantificar el valor, se puede usar la diferencia finita Δ⁴f, pues con la derivada sería muy laborioso.

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Ejercicio

Para el ejercicio planteado en la regla de trapecio, usando cuatro tramos, se aplica el método cada dos tramos.

f(x)= \sqrt {(x)} \sin(x) 1 \leq x \leq 3

tramos = 4

h = \frac{3-1}{4} = 0.5 I\cong \frac{0.5}{3}[f(1)+4f(1.5) + f(2)] + + \frac{0.5}{3}[f(2)+4f(2.5) + f(3)] I\cong 2.054

Note que al usar Simpson 1/3 con 4 tramos el resultado tiene los 2 primeros decimales iguales a usar Trapecio con 16 tramos.

tramos: 4
Integral:  2.0549261957703937
>>>

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Algoritmo en Python

Del ejercicio con trapecios, se repite el ejercicio con n tramos; usando dos tramos o tres puntos por cada iteración. Cada iteración se procesa avanzando dos puntos x_i. Ejemplo:

tramos:  8
Integral:  2.05363501328
>>> 

A continuación se presentan dos formas de algoritmos que entregan los mismos resultados. Como tarea puede revisar la diferencia de tiempos de ejecución de cada uno.

Algoritmo conceptual

Se realiza mediante la aplicación directa de la forma conceptual de la fórmula para cada segmento conformado de dos tramos.

# Integración: Regla Simpson 1/3
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO:
fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)

# intervalo de integración
a = 1
b = 3
tramos = 8

# PROCEDIMIENTO
# Tarea: validar tramos par

# Regla de Simpson 1/3
h = (b-a)/tramos
xi = a
area = 0
for i in range(0,tramos,2):
    deltaA = (h/3)*(fx(xi)+4*fx(xi+h)+fx(xi+2*h))
    area = area + deltaA
    xi = xi + 2*h

# SALIDA
print('tramos:', tramos)
print('Integral: ', area)

Algoritmo con varios segmentos y h constante

Usado cuando el intervalo a integrar tiene varios segmentos, cada segmento tiene dos tramos. Ejemplo para dos segmentos, cuatro tramos, semejante al usado en la gráfica. La simplificación es válida si h es constante.

I\cong \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + f(x_2)] + + \frac{h}{3}[f(x_2)+4f(x_3) + f(x_4)]

tomando factor común h/3

I\cong \frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1) + 2f(x_2) + +4f(x_3) + f(x_4)]

# Integración: Regla Simpson 1/3
# Validar cantidad de tramos pares
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)

# intervalo de integración
a = 1
b = 3
tramos = 8

# Validar cantidad de tramos pares
esimpar = tramos%2
while (esimpar == 1):
    tramos = int(input('tramos es par: '))
    esimpar = tramos%2

# PROCEDIMIENTO
# Regla de Simpson 1/3, varios tramos
h = (b-a)/tramos
xi = a
# segmento por cada dos tramos
suma = fx(xi)
for i in range(0,tramos-2,2):
    xi = xi + h
    suma = suma + 4*fx(xi)
    xi = xi + h
    suma = suma + 2*fx(xi)
# último segmento
xi = xi + h
suma = suma + 4*fx(xi)
suma = suma + fx(b)
area = (h/3)*suma

# SALIDA
print('tramos: ', tramos)
print('Integral: ', area)

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Gráfica

Se puede observar mejor lo expresado usando la gráfica, en la que cada segmento se destaca con diferente color.

Tarea: realizar la gráfica de la función y las áreas bajo las curvas

Referencia: Chapra 21.1 p621 pdf645, Burden 4.2 p192 pdf202, Rodriguez 7.1.1 p273

La integración numérica con la regla de los trapecios, es la primera de las formulas cerradas de Newton-Cotes, usando un polinomio de primer grado.

I = \int_a^b f(x) dx \cong \int_a^b f_1 (x) dx

usando el rango entre [a,b] el polinomio se aproxima con una línea recta:

f_1 (x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a)

el área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b.

El resultado del integral es la regla del trapecio:

I = (b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}

que se interpreta como la multiplicación entre la base y altura promedio de un trapecio. También se llega al resultando sumando las áreas de sus componentes: rectángulo y triángulo.

Error de truncamiento se encuentra como el integral del término que le sigue al polinomio de Taylor en la aproximación, es decir el de grado 2, que al integrarlo fiene un orden de h³. (Rodriguez p275)

error_{truncar} = -\frac{h^3}{12}f''(z)

a < z < b

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Ejercicio

Para integrar la función  en el intervalo [1,3] con 4, 16, 32 ,64 y 128 tramos,

f(x)= \sqrt {(x)} \sin(x)

Tramos = 4

La base de los trapecios (x_i-x_i+1), si esta base tiene valores equidistantes se sustituye por la variable h .

base =\frac{b-a}{tramos}=\frac{3-1}{4}= 0.5 = h

para cada tramo, el área de un trapecio es:

A_i = base\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}

por lo que cada trapecio en cada subintervalo tendrá un área de:

A_1 = (0.5)\frac{f(1)+f(1.5)}{2} A_2 = (0.5)\frac{f(1.5)+f(2)}{2} A_3 = (0.5)\frac{f(2)+f(2.5)}{2} A_4 = (0.5)\frac{f(2.5)+f(3)}{2}

y el integral de todo el intervalo es la suma de todos los trapecios.

Integral = A_1+ A_2+ A_3+A_4

si se quiere tomar el factor común entre las sumas de áreas de cada tramo, también se tiene la forma de la ecuación con un h equidistante entre cada tramo del intervalo.

Integral = \frac{0.5}{2}\Big(f(1)+2f(1.5) +2f(2)+2f(2.5)+f(3)\Big)

Interpretando la fórmula,  el integral es la suma de:

• una vez la función evaluada en cada extremo,
• mas dos veces cada valor de la función evaluada en los puntos intermedios.
• El resultado de la suma se multiplica por h/2.

En caso que los puntos no sean equidistantes la simplificación NO procede, y se sumaran las áreas de los trapecios de cada tramo.

Siguiendo el procedimiento, para cada cantidad de tramos en el intervalo, los resultados serán:

tramos: 4
Integral: 1.99841708623

tramos:  16
Integral:  2.05019783717

tramos:  32
Integral:  2.05277225085

tramos:  64
Integral:  2.05341563776

tramos: 128
Integral:  2.05357647096

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Algoritmo en python

Algoritmo conceptual

Algoritmo con fórmula simplificada para varios tramos, con puntos de muestras equidistantes h.

# Integración: Regla de los trapecios
# Usando una función fx()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)

# intervalo de integración
a = 1
b = 3
tramos = 4

# PROCEDIMIENTO
# Regla del Trapecio
# Usando tramos equidistantes en intervalo
h = (b-a)/tramos
xi = a
suma = fx(xi)
for i in range(0,tramos-1,1):
    xi = xi + h
    suma = suma + 2*fx(xi)
suma = suma + fx(b)
area = h*(suma/2)

# SALIDA
print('tramos: ', tramos)
print('Integral: ', area)

La gráfica como ayuda didáctica, si la cantidad de tramos sea «poca», muestra los trapecios, si aumenta la cantidad de tramos, no es necesario poner líneas verticales en blanco para separar los trapecios:

# GRAFICA
# Puntos de muestra
muestras = tramos + 1
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)
# Linea suave
muestraslinea = tramos*10 + 1
xk = np.linspace(a,b,muestraslinea)
fk = fx(xk)

# Graficando
plt.plot(xk,fk, label ='f(x)')
plt.plot(xi,fi, marker='o',
         color='orange', label ='muestras')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Integral: Regla de Trapecios')
plt.legend()

# Trapecios
plt.fill_between(xi,0,fi, color='g')
for i in range(0,muestras,1):
    plt.axvline(xi[i], color='w')

plt.show()

Para rellenar el área bajo la curva se usa la instrucción plt.fill_between(xi,0,fi, color=’g’). La división de los trapecios con una línea blanca (white) se realiza con la instrucción plt.axvline(xi[i], color=’w’).

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Algoritmo con muestras

Algoritmo usando las muestras y para tramos que pueden tener distancias arbitrarias. En este caso se usa la formula del área del trapecio para cada tramo.

Usado para ejercicios donde los datos proporcionados son muestras. Se adapta el bloque de ingreso y el procedimiento inicia desde «Regla de Trapecio». La cantidad de tramos será el numero de muestras menos uno tramos = len(xi) - 1

# Integración: Regla de los trapecios
# Usando incluso muestras arbitrariamente espaciadas
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# INGRESO
fx = lambda x: np.sqrt(x)*np.sin(x)

# intervalo de integración
a = 1
b = 3
tramos = 4

# PROCEDIMIENTO
# Puntos de muestra
muestras = tramos + 1
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fx(xi)

# Regla del Trapecio
# Usando puntos muestreados
# incluso arbitrariamente espaciados
suma = 0
for i in range(0,tramos,1):
    dx = xi[i+1]-xi[i]
    Atrapecio = dx*(fi[i]+fi[i+1])/2
    suma = suma + Atrapecio
integral = suma

# SALIDA
print('tramos: ', tramos)
print('integral: ', integral)