5.4.1 Cuadratura con dos puntos – Experimento

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Cuadratura con dos puntos – Experimento

Para visualizar el concepto de Cuadratura de Gauss de dos puntos considere lo siguiente:

Se tiene un corte transversal del un recipiente rectangular lleno de líquido limitado en x entre [-1,1], al que se le ha depositado encima otro recipiente con perfil f(x) = x2 hasta que reposan sus extremos en x[-1,1].

La altura de ambos recipientes es la misma.

La superficie entre f(x) y el eje x es el integral de f(x) en el intervalo.

Si suponemos que la figura es el corte transversal de una vasija y la parte en amarillo es líquida, la vasija ha desplazado el líquido que ocupa ahora el «área» mostrada en la gráfica que corresponde al integral de f(x)=x2. entre [-1,1].

Ahora, suponga que se perfora el perfil de f(x) en dos puntos equidistantes cercanos  x=0. Los orificios permitirían el desplazamiento del liquido al interior de f(x) que dejando pasar suficiente tiempo, permitiría tener todo el líquido en el recipiente rectangular entre [-1,1] como una línea horizontal.

Podría medir la altura que tiene el líquido y que tiene un equivalente en un punto f(x1). Debería encontrar el valor de x1 que permite disponer del mismo valor entre el área debajo de f(x) y el rectángulo del corte transversal amarillo ahora formado.

Se usa el resultado analítico del integral restando el área del rectángulo obtenido al evaluar la función f(x) entre [0,1], teniendo un problema de búsqueda de raíces. Obtenemos el valor de x1.

Se muestra que el área bajo f(x) es equivalente al área del rectángulo conformado.

Si  utilizamos el desplazamiento horizontal desde el centro para un punto encontrado como un «factor», tendremos que el área del rectángulo se mantendría equivalente, y el desplazamiento proporcional a la mitad del intervalo si se varía el intervalo de observación. Este factor coincide con el factor de Cuadratura de Gauss de dos puntos.

funcion  fx:   x**2
Integral Fx:   x**3/3
I analitico:   0.6666666666666666
I aproximado:  0.6666666666654123
desplaza centro:   0.5773502691890826
factor desplaza:   0.5773502691890826
Factor CuadGauss:  0.5773502691896258
erradoFactor:    1.2545520178264269e-12
error integral:  1.2543299732215019e-12

El error del integral es del orden de 10-12


Cambiamos la figura geométrica a un trapecio generado por la recta que pasa por los puntos xi desplazados desde el centro.

Usamos la función f(x) = x2 + x + 1, observaremos si los resultado son equivalentes.

La figura al inicio del experimento será:

Luego de realizar realizar el mismo cálculo anterior usando un equivalente a trapecio se tiene:

con valores numéricos:

funcion  fx:   x**2 + x + 1
Integral Fx:   x**3/3 + x**2/2 + x
I analitico:   2.6666666666666665
I aproximado:  2.6666666666654124
desplaza centro:   0.5773502691890826
factor desplaza:   0.5773502691890826
Factor CuadGauss:  0.5773502691896258
erradoFactor:    1.2545520178264269e-12
error integral:  1.2541079286165768e-12

El error del integral es también del orden de 10-12, además observe que el factor de cuadratura de Gauss se mantiene.

[ Cuadratura de Gauss ] [ Experimento 2 puntos ] [ Experimento algoritmo ]


Tarea

Realice el experimento usando un polinomio de grado superior y observe los errores para el integral y las diferencia con el coeficiente de Cuadratura de 2 puntos.

[ Cuadratura de Gauss ] [ Experimento 2 puntos ] [ Experimento algoritmo ]

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Algoritmo con Python

Para resumir la cantidad de instrucciones, se usa el método de la bisección desde la librería Scipy y el subgrupo de funciones de optimización.

Los cálculos para realizar las gráficas se tratan en un bloque luego de mostrar los resultado principales.

# Integración: Cuadratura de Gauss de dos puntos
# modelo con varios tramos entre [a,b]
# para un solo segmento.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sym
import scipy.optimize as op

# INGRESO
x = sym.Symbol('x')

# fx = (x)**2
fx = x**2 + x + 1
# fx = 0.2 + 25.0*x-200*(x**2)+675.0*(x**3)-900.0*(x**4)+400.0*(x**5)

a = -1
b = 1
muestras = 51
tolera = 1e-12
iteramax = 100

# PROCEDIMIENTO
# Desarrollo analítico con Sympy
Fx = sym.integrate(fx,x)
Fxn = sym.lambdify('x',Fx,'numpy')
Fiab = Fxn(b)-Fxn(a)

# Busca igualar trapecio con Integral analitico
fxn = sym.lambdify('x',fx,'numpy')
base = b-a
mitad = base/2
xc = (a+b)/2  # centro
diferencia = lambda x: Fiab-base*(fxn(xc-x)+fxn(xc+x))/2
desplazado =  op.bisect(diferencia,0,mitad,
                        xtol=tolera,maxiter=iteramax)
factor = desplazado/mitad

# Integral aproximando con trapecio
x0 = xc - factor*mitad
x1 = xc + factor*mitad
Faprox = base*(fxn(x0)+fxn(x1))/2

# Integral cuadratura Gauss
xa = xc + mitad/np.sqrt(3)
xb = xc - mitad/np.sqrt(3)
FcuadG = base*(fxn(xa)+fxn(xb))/2
erradofactor = np.abs(FcuadG - Faprox)
erradoIntegral = np.abs(Fiab-Faprox)
# SALIDA
print('funcion  fx:  ', fx)
print('Integral Fx:  ', Fx)
print('I analitico:  ', Fiab)
print('I aproximado: ', Faprox)
print('desplaza centro:  ', desplazado)
print('factor desplaza:  ', factor)
print('Factor CuadGauss: ', 1/np.sqrt(3))
print('erradoFactor:   ', erradofactor)
print('error integral: ', erradoIntegral) 

# Grafica
# Para GRAFICAR 
# Para gráfica f(x)
xi = np.linspace(a,b,muestras)
fi = fxn(xi)

# Para gráfica Trapecio
m = (fxn(x1)-fxn(x0))/(x1-x0)
trapeciof = lambda x: fxn(x0)+m*(x-x0)
trapecioi = trapeciof(xi)

# Areas Trapecio para cada punto que busca
k = int(muestras/2)
xicg = xi[k:muestras-1]
Fcg = [base*(fxn(xi[k+0])+fxn(xi[k-0]))/2]
for i in range(1,k,1):
    untrapecio = base*(fxn(xi[k+i])+fxn(xi[k-i]))/2
    Fcg.append(untrapecio)

# Punto buscado
Fiaprox = base*(fxn(x1)+fxn(x0))/2

Fi = Fxn(xi)-Fxn(a)

# Areas de curvas y trapecio

plt.subplot(211) # Grafica superior
plt.xlim(a,b)
plt.plot(xi, fi, label='f(x)')
# Solo fi
# plt.fill_between(xi,0, fi,
#                label='integral fi',
#                 color='yellow')
# usando cuadratura
plt.fill_between(xi,0, trapecioi,
                 label='Cuadratura 2 puntos',
                 color='yellow')
plt.axvline(x0,color='white')
plt.axvline(x1,color='white')
plt.plot([x0,x1],[fxn(x0),fxn(x1)],
         'ro', label='x0,x1')
plt.axvline(0,color='black')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x) y Cuadratura de 2 puntos')
plt.legend()

# Valores de integrales
plt.subplot(212) # Grafica inferior
plt.xlim(a,b)
plt.axhline(Fiab, label='F[a,b]')
# plt.plot(xi,Fi,label='F(x)')
plt.plot(xicg,Fcg,color='orange',label='Aprox Trapecio')

plt.axvline(x1,color='yellow')
plt.axvline((1/np.sqrt(3))*(b-a)/2 + xc ,color='magenta')
plt.plot(x1,Fiaprox,'ro', label='x0,x1')
plt.axvline(0,color='black')

plt.xlabel('x')
plt.legend()
plt.ylabel('Integrando')
plt.show()

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