Ejercicio: 1Eva_IIT2017_T1 Aproximar a polinomio usando puntos
Se dispone de tres puntos para la gráfica.
x | f(x) |
0 | 1 |
0.2 | 1.6 |
0.4 | 2.0 |
Si el polinomio de Taylor fuera de grado 0, sería una constante, que si se evalua en x0 = 0 para eliminar los otros términos, se encuentra que sería igual a 1
Como se pide el polinomio de grado 2, se tiene la forma:
p(x) = a + bx + c x 2
p(x) = 1 + bx + c x 2
Se disponen de dos puntos adicionales que se pueden usar para determinar b y c:
p(0.2) = 1 + 0.2 b + (0.2)2 c = 1.6 p(0.4) = 1 + 0.4 b + (0.4)2 c = 2.0
simplificando:
0.2 b + (0.2)2 c = 1.6 - 1 = 0.6 0.4 b + (0.4)2 c = 2.0 - 1 = 1
multiplicando la primera ecuación de 2 y restandole la segunda ecuación:
// - 0.08 c = 1.2-1 = 0.2 c = - 0.2/0.08 = -2.5 0.2 b + 0.04(-2.5) = 0.6 0.2 b = 0.6 + 0.04*2.5 = 0.6 + 0.1 = 0.7 b = 0.7/0.2 = 3.5
con lo que el polinomio queda:
p(x) = 1 + 3.5 x – 2.5 x2
validando con python:
tomando los puntos de prueba:
[ 0. 0.2 0.4] [ 1. 1.6 2. ] >>>
se adjunta las instrucciones usadas para validar
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt xi = np.linspace(-0.5,1,51) px = lambda x: 1+ 3.5*x - 2.5*(x**2) pxi = px(xi) prueba = np.array([0,0.2,0.4]) puntos = px(prueba) # Salida print(prueba) print(puntos) # Gráfica plt.plot(xi,pxi) plt.plot(prueba,puntos,'*') plt.show()
Nota: Se puede intentar realizar los polinomios aumentando el grado, sin embargo cada término agrega un componente adicional a los términos anteriores por la forma (x – x0)k