2Eva_IIT2017_T4 EDO valor en frontera

2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018. MATG1013

Tema 4. Use el algoritmo lineal de diferencias finitas para aproximar la solución del problema con valor en las fronteras

\frac{d^2T}{dx^2} + \frac{1}{x}\frac{dT}{dx} +S =0 0 \leq x \leq 1

con condiciones de frontera

T(x=0) =2, T(x=1) = 1

a) Plantee las ecuaciones con h = 0.25

b) Plantee el error para Ti

c) Realice los cálculos con S=1

2Eva_IIT2017_T1 EDO Runge Kutta 2do Orden d2y/dx2

2da Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 7, 2018. MATG1013

Tema 1. Use el método de Runge Kutta de 2do orden (Euler Mejorado) para sistemas de ecuaciones y aproxime la solución de la EDO de orden superior

\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin (\theta) = 0 \theta (0) = \frac{\pi}{6}, \theta '(0) =0

Suponga que g=9.8 y L=2

a) Plantee la formulación para 0 ≤t≤2, h=0.1

b) Calcule el ángulo para t=1, usando h=0.25

c) Estime el error (solo la fórmula del error para Euler Mejorado)

3Eva_IT2017_T2 EDO Runge-Kutta d3y/dx3

3ra Evaluación I Término 2017-2018. 11/Septiembre/2017. MATG1013

Tema 2. Use un método de Runge Kutta para sistemas y aproxime la solución de la siguiente EDO de orden superior

y'''+ 2y'' - y'- 2y = e^t

0 ≤ t ≤ 1

y(0) = 1
y'(0) = 0
y''(0) = 0

con h = 0.25

2Eva_IT2017_T2 EDO valor de frontera

2da Evaluación I Término 2017-2018. 28/Agosto/2017. MATG1013

Tema 2. (40 puntos)

a) Usando un polinomio de grado dos obtenga una fórmula central para la primera derivada y otra para la segunda derivada (la tabla tiene al menos 3 nodos, xi-1, xi, xi+1 )

b) Use el método de diferencias finitas para aproximar la solución al siguiente problema con valor de frontera:

y'' = -3y'+2y+2x+3

0 ≤ x ≤ 1
y(0) = 2
y(1) = 1
use h = 0.25

c) Estime el error

Rúbrica: Plantear un polinomio hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la primera derivada hasta 5 puntos, deducir la fórmula de la segunda derivada hasta 5 puntos, plantear el error en las fórmulas hasta 5 puntos. Indicar los nodos en el intervalo hasta 5 puntos, plantear la ecuación en el nodo i hasta 5 puntos, resolver el sistema hasta 5 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.

2Eva_IT2017_T1 Sistema Masa Resorte

2da Evaluación I Término 2017-2018. 28/Agosto/2017. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) El movimiento de un sistema acoplado masa-resorte está descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:

m\frac{\delta ^2x}{\delta t^2} + c\frac{\delta x}{\delta t} + kx =0

Donde:

x = el desplazamiento desde la posición de equilibrio (m),
t = tiempo (s),
m = 20 kg masa,
c = 5 (N s/m) coeficiente de amortiguamiento (sub_amortiguado) y
k = 20 (N/m) constante del resorte

La velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial es 1 m.

a) Resuelva esta ecuación con un método numérico para 0<= t <= 15 s, (solo planteo)

b) Realice 3 iteraciones con h=0.1 s

c) Estime el error acumulado en la tercera iteración.

Rúbrica: Plantear el sistema 5 hasta puntos, Plantear el modelo del método numérico hasta 10 puntos, Realizar 3 iteraciones hasta 10 puntos y estimar el error hasta 5 puntos.

 

2Eva_IIT2016_T3_MN EDO Taylor 2, Tanque de agua

2da Evaluación II Término 2016-2017. 14/Febrero/2017. ICM02188 Métodos Numérico

Tema 3.  Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque está lleno y disminuye el flujo a medida que se drene.

Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

\frac{dy}{dt} = -k \sqrt{y}

Donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero del drenaje. La profundidad del agua del agua se mide en metros y el tiempo t en minutos.

Si k=0.06,

a) Determine en que tiempo la altura del nivel del agua llega a la mitad del nivel inicial que es 3 m. (Solo formule el método de Taylor de orden 2)

b) Realice 3 pasos con h=0.5 min

3Eva_IT2015_T1 Valor de Frontera

3ra Evaluación I Término 2015-2016. 22/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 1. El problema con valor de frontera

y'' = y'+ 2y+ cos(x)

0 ≤ x ≤ π/2

y(0) = -0.3
y(π/2) = -0.1

a) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/4 y estime el error.

b) Aproxime usando las diferencias finitas con h = π/8 y estime el error.

2Eva_IT2015_T2 Deflexión de mástil

2da Evaluación I Término 2015-2016. 8/Septiembre/2015. ICM00158

Tema 2. (30 puntos) La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión del mástil de un bote expuesto a la fuerza del viento:

\frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{f}{2EI} (L-x)^2

Donde:
f = fuerza,
E = módulo de elasticidad,
L = longitud del mástil
I = momento de inercia.

Calcule la deflexión si y = 0 y \frac{\delta y}{\delta x} = 0 en x = 0.

Para sus cálculos considere f=60, L =30, E = 1.25×108 e I = 0.05.

a. Encuentre el sistema de ecuaciones diferenciales equivalente a dicha ecuación.

b. Aproxime usando Runge-Kutta 4to orden, para n=30 sub-intervalos. (solo expresado)

c. Aproxime considerando h=2 y realice 2 pasos usando Runge-Kutta de 2do orden.


Referencias: Chapra 24.2 p284 pdf121

 

3Eva_IIT2014_T2 Crecimiento demográfico

3ra Evaluación II Término 2014-2015. 10/Marzo/2015. ICM00158

Tema 2. Sea P(t) el número de individuos de una población en el tiempo t, medido en años.

Si la tasa de natalidad promedio b es constante y la tasa de mortalidad d es proporcional al tamaño de la población (debido a la sobrepoblación), entonces la tasa de crecimiento demográfico estará dada por la ecuación logística

\frac{\delta P(t)}{\delta t} = b P(t) - k[P(t)]^2

donde d = k P(t).

Suponga que P(0) = 50976, b = 2.9×10-2 y que k = 1.4×10-7.

Calcule la población después de 2 años, use h = 0.5 años y el método de Taylor de orden 2. Estime el error.


Referencias:

2Eva_IIT2014_T2 Carga uniforme en viga

2da Evaluación II Término 2014-2015. 23/Febrero/2015. ICM00158

Tema 2. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga con carga uniforme (ver figura) está dada por

EI \frac{\delta ^2 y}{\delta x^2} = \frac{wLx}{2} - \frac{wx^2}{2}

Donde E = módulo de elasticidad, I = momento de inercia

Resuelva para la deflexión de la viga con el método de disparo con Runge-Kutta de 2do orden y (Δx = 2.5 ft).

Aplique los siguientes valores de parámetros:
E = 30.000 ksi
I = 800 in4
w = 1 kip/in
L = 10 ft.

Referencia: Chapra 5Ed Cap28 Ejercicio 28.23 p849 pdf873.