Etiqueta: matriciales directos

3ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 12/Septiembre/2023

Tema 1 (25 puntos) Un call-center para soporte técnico de una mediana empresa se conforma de una recepcionista y dos técnicos. Se considera como “satisfecho” al cliente si su llamada fue procesada por la recepcionista y cualquiera de los técnicos.

La probabilidad P_RT de atención a llamadas se modelan con un sistema de ecuaciones (cadena de Markov) que al ser resuelta muestra probabilidad de encontrarse en cada estado.

λ P₀₀ = μ_T P₀₁

(μ_T + λ) P₀₁ = 2 μ_T P₀₂ + μ_R P₁₀

(2 μ_T + λ) P₀₂ = μ_R P₁₁ + μ_R P₁₂

μ_R P₁₀ = λ P₀₀ + μ_T P₁₁

(μ_R + μ_T) P₁₁ = λ P₀₁ +  2 μ_T P₁₂

(μ_R + 2 μ_T) P₁₂ = λ P₀₂

La suma de probabilidades es uno.

P₀₀ + P₀₁ + P₀₂ + P₁₀ + P₁₁+ P₁₂ = 1

λ = 1/10, μR = 1/3, μT =1/15

Los estados descritos en la gráfica y ecuaciones expresan el proceso de atención:
– En una llamada, los clientes son atendidos por la recepcionista que toma los datos y redirige la llamada a uno de los técnicos disponible (libre).
– Si un cliente llama mientras la recepcionista está ocupada, el cliente recibe tono de ocupado y cierra.
– Si ambos técnicos están disponibles, se selecciona uno con igual probabilidad.
– Si solo hay un técnico disponible, se le asigna la llamada.
– Si los dos técnicos están ocupados, se pierde la llamada.

Los tiempos de atención y llamadas siguen distribuciones exponenciales: recepcionista es de 3 minutos (μR = 1/3), por técnico es de 15 minutos (μT =1/15). Los clientes llaman a intervalos de 10 minutos (λ = 1/10).

a. Plantee el sistema de ecuaciones, reemplazando la última ecuación con la que indica que la suma de probabilidades por cada estado P_RT suma 1.

b. Establezca la forma matricial del sistema de ecuaciones y como matriz aumentada

c. De ser necesario realice el pivoteo parcial por filas.

d. Comente sobre la convergencia del sistema de ecuaciones y justifique sus observaciones usando los errores entre iteraciones o número de condición.

e. Use un método directo, realizando al menos 3 iteraciones con todas las expresiones.

Rúbrica: literal a (2 puntos), literal b (5 puntos), literal c (3puntos), literal d (5 puntos), literal e (10 puntos).

Referencia: [1] 1Eva_IT2017_T3 Call Center Operadora y Dos Técnicos. ESTG1003-Blog de procesos estocásticos. http://blog.espol.edu.ec/estg1003/1eva_it2017_t3-call-center-operadora-y-dos-tecnicos/
[2] Cadenas de Markov 01 Introducción. Goal Project. 30 agosto 2021.

3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

Tema 1 (20 puntos) Una carga P está sostenida por dos cables como se muestra en la figura.

Las ecuaciones de equilibrio del sistema corresponden a:

\sum^n{F_x = 0} -T_{CA} \cos (\alpha) + T_{CB} \cos (\beta) + P \sin (\theta) = 0 \sum^n{F_y = 0} T_{CA} \sin (\alpha) + T_{CB} \sin (\beta) - P \cos (\theta) = 0

Se requiere determinar la tensión en cada cable para cualquiera de los valores de P y θ que se encuentran desde θ₁=β-90° hasta θ₂=90°- α , con incrementos dados Δθ.

Usando un algoritmo numérico con método directo para solución de un sistema de ecuaciones, determine para los siguientes conjuntos de  números: La tensión en cada cable para los valores de θ  que van de θ₁ a θ₂.

α = 35°, β = 75°, P = 400 lb, Δθ = 5°
α = 50°, β = 30°, P = 600 lb, Δθ = 5°
α = 40°, β = 60°, P = 2500 lb, Δθ = 5°

Nota: Observe que los valores de ángulos están presentados en grados sexagesimales

Referencia: Ferdinand P. Beer, E. Johnston, E. Eisenberg. 9va Ed. Cap2. Ejercicio 2.C4 Mecánica vectorial para ingenieros – Estática

Rúbrica: Planteamiento del problema (5 puntos), desarrollo del método directo (10 puntos), algoritmo (5 puntos)

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 2. ( 30 puntos) Considere los siguientes vectores:
V₁ = (2,-3,a)
V₂=(b,1,-4)
V₃= (3,c,2)

Se sabe que V1 es perpendicular a V₂  y V₃.

También se sabe que V₂.V₃=2.

Use un método para encontrar el valor de las incógnitas a,b,c

a) Plantee el sistema

b) Resuelva con el método de eliminación de Gauss

c) Vuelva a resolver con el método de Jacobi con x⁽⁰⁾ = [0,0,0], realice tres iteraciones

d) Encuentre el residuo, cota del error absoluto y relativo

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b, ordenar las ecuaciones(5 puntos), método Gauss (10 puntos);  literal c, aplicarJacobi (5 puntos), literal d (5 puntos)

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Notas:
– Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.
– En geometría euclídea se tiene, dos vectores v₁ y v₂ que son ortogonales forman un ángulo recto, por lo tanto v₁ ⋅ v₂ = 0. https://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalidad_(matem%C3%A1ticas)

Referencia: Chapra 5ed. problema 10.18 p304, pdf 328.

3ra Evaluación II Término 2008-2009. 3/Marzo/2009. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 2. (30 puntos) Dado el sistema de ecuaciones lineales AX=B:

A = [a_{i,j}], B = [b_i] a_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}, b_i = i^{2} 1\leq i,j\leq 3

a. Determine el nivel de mal condicionamiento de A con la definición:

cond(A) = ||A|| ||A^-1||

b. Obtenga el vector solución X e indique si esta solución es confiable.

Use el método de Gauss-Jordan partiendo de la matriz aumentada, A|B|I. Al transformar la matriz A en I, las transformaciones aplicadas simultáneamente al vector B, lo convertirán en la solución. El proceso también afecta a la matriz I que se convierte en A^-1 .

Use 4 decimales sin redondear en sus cálculos.

1ra Evaluación I Término 2015-2016. 7/julio/2015. ICM00158

Tema 4. (25 puntos) Se tienen cuatro lingotes de 100 gramos, cada uno  compuesto de la forma mostrada en la tabla.

Se requiere determinar el peso en gramos que debe tomarse de cada uno de los cuatro lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 100 gramos que contenga:

27 gramos de oro, 39.5 gramos de plata, 14 gramos de cobre y 19.5 gramos de estaño.

Composición (gramos)

	Oro	Plata	Cobre	Estaño
Lingote 1	20	50	20	10
Lingote 2	30	40	10	20
Lingote 3	20	40	10	30
Lingote 4	50	20	20	10

a) Plantee un modelo matemático para describir este problema

b) Describa un método numérico directo para encontrar la solución.
Muestre evidencia suficiente del uso del método numérico

c) Encuentre una cota para el error en la solución calculada y comente.

Rúbrica: literal a (7 puntos), literal b (10 puntos), literal c (8 puntos)

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compuesto = np.array([[ 20, 50, 20, 10],
                      [ 30, 40, 10, 20],
                      [ 20, 40, 10, 30],
                      [ 50, 20, 20, 10]])
proporcion = np.array([ 27, 39.5, 14, 19.5])

1ra Evaluación I Término 2012-2013. 3/Julio/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

TEMA 3. (35 puntos) Con los mismos datos de las matrices T y D del problema anterior, se decide resolver el sistema mediante el método de Gauss-Jordan, para lo cual la ecuación inicial X = TX + D se la reescribe en la siguiente forma:

(I – T)X = D

en donde I es la matriz identidad.

a) Obtenga la solución transformando la matriz de coeficientes I – T aumentada con el vector D.
Adjunte adicionalmente una matriz identidad que al ser transformada simultáneamente proporcione la inversa de la matriz de coeficientes

b) Calcule el número de condición de la matriz de coeficientes y comente al respecto. Use la norma de fila.

1ra Evaluación II Término 2011-2012. 29/Noviembre/2011. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 3. En el problema anterior, la empresa ha decidido fabricar un producto adicional D con la siguiente composición y con la misma cantidad de insumos disponibles semanales.

Sea t la cantidad del producto D que se producirá semanalmente (t≥0)

	Insumo1	Insumo2	Insumo3
Producto D	3	2	2

a) encuentre el conjunto solución para x, y ,z, en términos de la variable independiente t

b) Encuentre el rango de producción posible del producto D, y con éste rango encuentre el rango de producción posible para los otros tres productos.