3ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 17/Septiembre/2024
Tema 3. (35 puntos) Para el salto del Bungee y la tabla del ejercicio del tema 2, realice el sistema de ecuaciones para el polinomio de interpolación usando los tiempos en el vector ts = [0, 0.75,1.375, 2.55]
datos usando h=1/8
ti
vi
0
0.0000
0.25
2.4479
0.5
4.8849
0.75
7.3001
1
9.6832
1.375
13.1763
1.75
16.5451
2.125
19.7641
2.4
22.0193
2.55
23.2075
Plantee el sistema de ecuaciones usando los cuatro puntos datos en el vector ts
Presente el sistema de ecuaciones en su forma matricial y muestre la matriz aumentada y pivoteada
Desarrolle el ejercicio usando el método de Jacobi, para tres iteraciones. Justifique el vector inicial X0
Comente sobre la convergencia del ejercicio y adjunte los archivos para algoritmo.py y resultados.txt
Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), Matriz aumentada y pivoteada (5 puntos), iteraciones(15 puntos), error por iteración (5 puntos), literal d (5 puntos)
Tema 2 (40 puntos) La distribución de temperatura en estado estable en una placa cuadrada caliente está modelada por la ecuación de Laplace [1], cuya solución en su forma iterativa cuando el factor
(Δy)2/(Δx) = 1 se interpreta como:
“La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo” [2].
Considere placa cuadrada de 4.5 cm de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura.
a) Plantee el sistema de ecuaciones para encontrar los valores en los nodos a, b, c, d. Use la solución descrita para la ecuación de Laplace.
b) Presente la matriz aumentada y Muestre los pasos detallados para el pivoteo parcial por filas.
c) Desarrolle las expresiones para resolver mediante el método de Gauss-Seidel. Considere para el vector inicial Xo, valores intermedios entre las temperaturas de los bordes de la placa.
d) Realice al menos 3 iteraciones, indicando el error por iteración.
e) Analice la convergencia del método, número de condición y resultados obtenidos.
Adjunte los archivos del algoritmo y resultados de computadora utilizados.
Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (15 puntos). literal e (5 puntos) Adjuntos (5 puntos)
Referencia: [1] Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Ecuaciones Elípticas. Método iterativo. http://blog.espol.edu.ec/analisisnumerico/edp-elipticas-metodo-iterativo/
Tema 2 (35 puntos) Un restaurante usa materia prima como: arroz, cebolla, papa, huevos, leche, etc.
Sin embargo los precios han presentado variaciones en el mercado presentando como causas: las lluvias fuertes, el fenómeno del niño, daños en las cosechas y variaciones en insumos por la guerra Ucrania.
Un proveedor mayorista ofrece “combo” de productos por un valor total registrado en varias semanas como:
arroz [Kg]
cebolla [Kg]
papa [Kg]
huevo [docena]
Total Pagado [USD]
Semana 1
500
600
400
90
1660
Semana 2
800
450
300
100
1825
Semana 3
400
300
600
80
1430
Nota: Los valores de la tabla se establecen para el ejercicio y no corresponden a una referencia publicada.
Se requiere conocer el precio unitario de los insumos para estimar el presupuesto operativo semanal del restaurante.
a. Plantee el ejercicio usando los datos de la tabla. Considere justificar el uso de una variable libre.
b. Establezca la forma matricial del sistema de ecuaciones y como matriz aumentada
c. De ser necesario realice el pivoteo parcial por filas
d. Use el método iterativo de Gauss-Seidel, realizando al menos 3 iteraciones. Estime la tolerancia, y justifique.
e. Comente sobre la convergencia del método y justifique sus observaciones usando los errores entre iteraciones.
Nota: considere el precio de 50 USD para el quintal métrico (100Kg) de arroz, y precios menores del mismo orden de magnitud para los demás productos. La docena de huevo a 2,5 USD.
Rúbrica: literal a (2 puntos), literal b (5 puntos), literal c (3puntos), literal d (15 puntos), literal e (5 puntos)
Referencia: [1] Papa, arroz, huevos, cebolla y gas escasean en las islas Galápagos por problemas de abastecimiento. Eluniverso.com. 9 Junio 2023. https://www.eluniverso.com/noticias/ecuador/escasez-de-productos-en-islas-galapagos-persiste-nota/
[2] El Gobierno importará arroz para controlar que el precio no suba por especulación o escasez. Ecuavisa. 16 junio 2023. https://www.ecuavisa.com/noticias/ecuador/el-gobierno-importara-arroz-para-controlar-que-el-precio-no-suba-por-especulacion-o-escasez-CK5396253
[3] Estos son los alimentos de la canasta básica que se han encarecido por las lluvias. Ecuavisa. 05 junio 2023. https://www.ecuavisa.com/la-noticia-a-fondo/estos-son-los-alimentos-de-la-canasta-basica-que-se-han-encarecido-por-las-lluvias-FX5303236
[4] Cebolla, arroz, piña y tomate son los productos que han subido su precio en mercados de Quito. La Hora. Junio 23, 2023. https://www.lahora.com.ec/pais/cebolla-arroz-pina-y-tomate-son-los-productos-que-han-subido-su-precio-en-mercados-de-quito/
[5] Escasez de arroz ya se refleja en los mercados de Ecuador | Televistazo | Ecuavisa. 14 jun 2023
1ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 22/Noviembre/2022
Tema 2. (35 puntos) Las instituciones de educación superior han comenzado a implementar un nuevo proceso para el registro de aspirantes a las universidades desde el 2023 [1].
Se rendirán dos exámenes: aptitudes, para evaluar el razonamiento lógico; y de conocimientos sobre materias base de la carrera a la que aspira.
Se requiere determinar la distribución de cupos en base a los costos relativos al promedio por estudiante para docencia, infraestructura y servicios mostrados en la tabla.
Costo referencial /carrera
Mecatrónica
Computación
Civil
Matemáticas
Docencia
1.5
0.9
0.6
0.7
Infraestructura
0.8
1.4
0.4
0.5
Servicios
0.45
0.55
1.1
0.5
Nota: Los valores de la tabla se establecen para el ejercicio y no corresponden a una referencia publicada.
En carreras como matemáticas de baja demanda, se establece el cupo de 10, mientras que para las demás depende de los otros parámetros referenciales. El total de recursos relativos al promedio por estudiante disponibles son docencia 271, infraestructura 250 y servicios 230.
a. Realice el planteamiento de un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de cupos de estudiantes por carrera que podrían ser admitidos con los recursos disponibles para el siguiente año.
b. Seleccione la variable libre considerando lo descrito para el caso dado y presente el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada.
c. Determine la capacidad usando un método Iterativo con una tolerancia de 10-2. Realice tres iteraciones completas y revise la convergencia del método. Justifique la selección de un vector inicial para X0.
Realice el desarrollo con el algoritmo y adjunte sus respuestas. De ser necesario comente sobre los valores encontrados.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), pivoteo por filas(5 puntos), iteraciones (10 puntos), análisis de convergencia (5 puntos), literal d (5 puntos).
Tema 2. (35 puntos). Debido al un “paro nacional” en el país, varios productos de primera necesidad escasean o se encuentran con sobreprecio debido a los cierres de vías de acceso en varias ciudades.
En la entrevista a un representante de los comerciantes de un mercado advirtió que disponían de alimentos almacenados, pero que pronto podrían acabarse si no se reestablecen las vías de acceso para los suministros desde el campo.
En una institución como un hospital, se requiere alimentar a los pacientes internados. Dadas las condiciones, se requiere determinar el número de pacientes que se pueden atender con una cantidad limitada de productos diarios, para al menos tres tipos de dietas y aprovechando todos los ingredientes.
Producto\ Paciente
Maternidad
Pos – operatorio
Covid_19
emergencia
Suministro diario
Producto A
0.2
0.1
1.7
0.25
135
Producto B
0.5
2
0.05
0.4
320
Producto C
1.5
0.2
0.75
1.4
410
a) Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de pacientes de cada grupo que podrían ser atendidos usando todos los productos disponibles. Una vez planteadas las ecuaciones, se le indica que la capacidad de atención para emergencia sea fija en K = 10 pacientes (variable libre).
Encuentre una solución sistema de ecuaciones con el método Jacobi. (Seleccione un vector inicial).
b) Muestre los pasos detallados para la matriz aumentada y pivoteo parcial por filas.
c) Desarrolle al menos 3 iteraciones para el método requerido, con expresiones completas.
d) Realice las observaciones necesarias sobre los errores entre iteraciones y la convergencia.
e) Si se decide no atender a los pacientes del grupo emergencias, ¿Qué aumento individual de cada una de otros grupos de pacientes podría soportarse con la cantidad diaria de alimento disponible? (use el algoritmo.py).
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (9 puntos), literal d (6 puntos), literal d (5 puntos) literal e (5 puntos)
Tema 4. (20 puntos) Un ingeniero civil que trabaja en la construcción requiere 4800, 5800 y 5700 m3 de arena, grava fina, y grava gruesa, respectivamente, para cierto proyecto constructivo.
Hay tres canteras de las que puede obtenerse dichos materiales.
La composición de dichas canteras es la que sigue:
Arena %
Grava fina %
Grava gruesa %
Cantera 1
25
45
30
Cantera 2
55
30
15
Cantera 3
25
20
55
¿Cuántos metros cúbicos deben extraerse de cada cantera a fin de satisfacer las necesidades del ingeniero?
a) Plantear el problema usando las ecuaciones y representación matricial para usar un método iterativo,
b) Presentar la matriz ampliada y realice el pivoteo parcial por filas,
c) Seleccionar un vector inicial acorde con el ejercicio (evite usar el vector cero)
d) Realice al menos 3 iteraciones con un método iterativo para la solución de sistemas de ecuaciones. Identifique claramente el método a usar y en cada iteración debe escribir las expresiones completas que permitan verificar el uso del método.
e) Determine y justifique si el método converge
Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (3 puntos), literal c (3puntos), literal d (8 puntos), literal e (3 puntos)
1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021
Tema 3. (40 puntos) La asociación de cultivos es la siembra de dos o más especies vegetales muy próximas entre sí, de tal manera que una o ambas pueden obtener tales como la mejora de la productividad, control de plagas, la prevención de enfermedades o adquirir un mejor sabor.
Los beneficios se obtienen a través de la absorción de nutrientes o de cambios en el medio ambiente.
Una forma de medir la absorción de un nutriente de cada especie por ciclo de cultivo es cambiar la cantidad de especies vegetales en distintas parcelas. La diferencia de un nutriente entre el fin e inicio del cultivo se encuentra mostrada en la siguiente tabla.
plátano
café
cacao
Absorción de nutriente
40
110
310
750
400
15
25
445
200
560
310
10
a. Realice el planteamiento del sistema de ecuaciones, presente en la forma Ax=B.
b. De ser necesario, realice operaciones con la matriz aumentada para mejorar la convergencia con un método iterativo.
c. En el contexto del problema, proponga un vector inicial y tolerancia.
d. Realice 3 iteraciones con el método de Gauss-Seidel y estime el error (papel y lápiz)
e. Describa y justifique su observación sobre la convergencia del método y estime una descripción de los resultados.
Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (5 puntos), iteraciones (15 puntos) cálculo de error(5 puntos), literal d(5 puntos)
Tema 2 (35 puntos) Durante el año 2020, ante el aumento de atención hospitalaria estatal en la región y el limitado acceso a medicamentos, como una primera estrategia de manejo de recursos se derivan el exceso de pacientes hacia la atención en hospitales privados.
En la tabla se muestra la cantidad de los tres medicamentos (mg, ml) que se administran al atender a cada paciente clasificado por grupo etario: niños, adolescentes, adultos y adultos mayores.
También se dispone del total de medicamentos existente en bodegas en cada semana.
Niños
Adolescentes
Adultos
Adultos Mayores
Medicamentos /semana
Medicamento_A
0.3
0.4
1.1
4.7
3500
Medicamento_B
1
3.9
0.15
0.25
3450
Medicamento_C
0
2.1
5.6
1.0
6500
Es de interés conocer la cantidad de pacientes de cada grupo que se podría atender con los recursos disponibles.
a. Realice el planteamiento de un sistema de ecuaciones que permita determinar la cantidad máxima de pacientes de cada grupo etario que podrían ser atendidos usando todos los medicamentos disponibles.
Una vez planteadas las ecuaciones, se le indica que la capacidad K para pacientes niños sea una variable libre, por consumir menos recursos y se podrían derivar al sistema privado.
b. Escriba el conjunto de soluciones posibles en función de la variable libre, considerando la cantidad de niños a atender como máximo de K=100.
c. Determine la capacidad de atención usando un método Iterativo con una tolerancia de 10-2. Realice tres iteraciones completas y revise la convergencia del método. Se estima atender al inicio de semana al menos 100 pacientes de cada grupo.
d. Suponga que la cantidad de pacientes en cada grupo para una semana dada es: [350, 1400, 1500, 1040]. ¿Hay suficiente cantidad de medicamentos para atender el promedio actual de pacientes? Analice y describa los resultados encontrados.
e. Si se decide vacunar primero a todos los niños, entonces ya no requieren atención hospitalaria (K=0) ¿Cuál es el número máximo de pacientes de cada grupo que podría incrementarse dadas las condiciones actuales? Resuelva usando un método directo.
Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2 puntos), pivoteo por filas(5 puntos), iteraciones (10 puntos), análisis de convergencia (4 puntos), literal d (5 puntos) literal e (6 puntos)
Referencias:
– BBC News Mundo. El país que está vacunando contra el covid-19 primero a los jóvenes y no a los ancianos. 16/enero/2021. https://youtu.be/oo2itoBBwyY
a) Use el método de eliminación de Gauss para calcular I1, I3, I4, I1 observando que
I2 = -10
b) Encuentre la norma infinita de la matriz de transición T en el método de Jacobi y comente.
c) Con el método de Gauss-Seidel realice tres iteraciones comenzando con el vector cero. Además en la tercera iteración, encuentre una cota para el error relativo.
Rúbrica: literal a (12 puntos), literal b (6 puntos), literal c (12 puntos)
1ra Evaluación I Término 2018-2019. 26/junio/2018. MATG1013
Tema 3. (25 puntos). La temperatura en los nodos de la malla de una placa se puede calcular con el promedio de las temperaturas de los 4 nodos vecinos de la izquierda, derecha, arriba y abajo.
Una placa cuadrada de 3 m de lado tiene la temperatura en los nodos de los bordes como se indica en la figura,
a) Plantee el sistema de ecuaciones y resuelva con eliminación de Gauss, encontrar a, b, c, d.
b) Encuentre la matriz T de Jacobi y comente sobre la convergencia
c) Con X[0]=[a=60, b=40, c=70, d=50], realice 3 iteraciones, estime el error, comente.
d) Con la tercera iteración calcule el residuo y encuentre una cota del error absoluto y error relativo
Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).
Referencia: Ejercicio 12.39 p339 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
