Etiqueta: raíces de ecuaciones

1ra Evaluación 2024-2025 PAO I. 2/Julio/2024

Tema 1. (30 puntos) Un reservorio semiesférico de radio R = 3 m, está lleno agua hasta la altura h como se muestra en la figura. En la base tiene un tubo de salida con abertura de área a = 0.01 m². El coeficiente de fricción hidráulico K = 0.85   g = 9.8 m/s².

Se requiere que el reservorio se vacíe en menos de t_f = 15 min.
La ecuación diferencial para el vaciado de tanques es:

A(h)\frac{dh}{dt} = -Ka\sqrt{2gh}

Considerando la relación de la altura del líquido h con
respecto al radio R de la semiesfera: r^2 + \Big( R-h\Big)^2 = R^2
Y el Área del círculo en función de h: A(h) = \pi \Big(2Rh -h^2 \Big)

se encuentra la solución general en la expresión:

\frac{4}{3}R \Big(h_f^{3/2} - h_0^{3/2} \Big) - \frac{2}{5}\Big(h_f^{5/2} - h_0^{5/2} \Big) = \frac{Ka}{\pi}\sqrt{2g}\Big(t_0-t_f \Big)

Dado que se vacía el reservorio, h_f = 0 y que el experimento inicia en t₀=0, h₀ =h y t_f=t, la expresión se simplifica:

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-\frac{4}{3}R h^{3/2} + \frac{2}{5} h^{5/2} = -\frac{Ka}{\pi} t \sqrt{2g}

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a. Plantear el ejercicio para encontrar h para un t dado, muestre el intervalo de búsqueda y una gráfica.

b. Desarrolle usando el método de Newton-Raphson para tres iteraciones y tolerancia milimétrica.

c. Verifique el orden de convergencia y observe sus resultados usando el algoritmo.

Nota: la gravedad g tiene unidades de segundos, el tiempo de vaciado está en minutos.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteraciones y error (15 puntos), análisis de la convergencia (5 puntos). observación de resultados, algoritmo y gráficas adjuntos (5 puntos).

Referencia:
[1] Ejercicio 25.21 p765 y 5.17. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7th Edition.
[2] Vaciado de un tanque semiesférico. Tiempo total de vaciado. Demostración y aplicación. Sebastian Rodriguez

3ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 15/Febrero/2024

Tema 1 (30 puntos) Encuentre las raíces de las ecuaciones simultaneas siguientes:

2y+1.75 x= 35.25 (y-7.6)^2 + (x-8.6)^2 = (6.7)^2

a. Use el enfoque gráfico para obtener los valores iniciales. Presente la gráfica realizada con Python.
b. Encuentre un intervalo apropiado para aproximar este valor mediante el método de Newton-Raphson
c. Realice al menos 3 iteraciones de forma analítica, usando tolerancia de 10^-4
d. Realice el análisis de la convergencia del método.
Adjunte los archivos realizados como algoritmos.py, resultados.txt y gráficas.png

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (5 puntos), iteraciones(9 puntos), errores entre iteraciones (6 puntos), análisis de convergencia (5 puntos).

1ra Evaluación 2023-2024 PAO II. 21/Noviembre/2023

Tema 1. (30 puntos) Radar penetrante o GPR (Ground Penetrating Radar) es el término general aplicado para mapear o cartografiar estructuras enterradas en el suelo.
El GPR se utiliza en muchas áreas como la localización de tuberías enterradas para servicios públicos, la evaluación del sitio en minas, excavaciones arqueológicas, medición del espesor de nieve o hielo para la gestión de pistas de esquí, etc.
Al emitir un pulso de radio hacia el suelo, la señal rebota al cambiar de medio y puede ser detectada en la superficie. Por lo que la distancia recorrida por la señal es de dos veces d.
Simplificando el ejercicio, considere la potencia de la señal recibida en el receptor en dB se expresa como:

RSSI(d)=-10\alpha log_{10}(d)+ P_0 ; d\gt0

Suponga que el coeficiente de atenuación del medio α = 4.5, P0 = – 20 y Rssi = -90, que la composición del suelo es uniforme y no existen pérdidas al rebotar sobre el material de la tubería mostrada en la gráfica.

a. Plantear el ejercicio para encontrar la profundidad a la que se encontraría la tubería usando el método de Newton-Raphson.

b. Describa el criterio para seleccionar un valor inicial de búsqueda y la tolerancia a usar en la solución.

c. Realice al menos tres iteraciones para el método indicado.

d. Realice observaciones sobre la convergencia del método.

e. Adjunte los archivos: algoritmos.py, resultados.txt y gráfica.png

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (3 puntos), literal c (12 puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] ¿Puedo predecir la profundidad de exploración?. Sensors&Software. https://www.sensoft.ca/es/blog/what-is-gpr/
[2] Te mostramos en realidad aumentada cómo son los túneles. Univisión Noticias. 16 oct 2023.

1ra Evaluación 2023-2024 PAO I. 4/Julio/2023

Tema 1 (30 puntos) El 20 de abril del 2023 será recordado por SpaceX por ser el día en que Starship, el cohete totalmente re – utilizable más alto y más potente de la historia, consiguió alzar el vuelo.

Sin embargo, la nave ha explotado pocos minutos después de su despegue.

El sistema de lanzamiento es de dos etapas: la primera etapa impulsa el vehículo al momento del lanzamiento, en la segunda etapa el cohete propulsor se desacopla y la nave sigue su camino en solitario encendiendo otros seis motores.

Para el siguiente lanzamiento se usa la separación de etapas en caliente (hot staging), que arranca los  motores de la etapa superior, o nave, mientras que la primera etapa, todavía está acoplada y funcionando.

Considere que la velocidad vertical de un cohete se calcula con la fórmula:

v = u \ln\Big(\frac{m_0}{m_0-qt}\Big) - gt

Donde:

v   = velocidad hacia arriba,
u   = 1870 m/s, velocidad a que se expele el combustible en relación con el cohete,
m₀ = 195 000 kg, masa inicial del cohete en el tiempo t = 0,
q    = 2 500 kg/s,  tasa de consumo de combustible y
g    = 9.8 m/s2, aceleración de la gravedad

Si la segunda etapa debe iniciar cuando la velocidad del vehículo ha alcanzado los 800 m/s, encuentre el valor de tiempo cuando se debe iniciar el encendido de los seis motores de la nave.

a. Plantee el ejercicio a resolver usando un método numérico para búsqueda de raíces

b. Verifique el intervalo a usar

c. Desarrolle al menos tres iteraciones con todas las expresiones

d. Muestre la tolerancia y errores a considerar

e. Realice las observaciones de convergencia

Rúbrica: literal a (3 puntos), literal b (2puntos), literal c (15puntos), literal d (5 puntos), literal e (5 puntos)

Referencia: [1] En su reconstrucción de Starship, Spacex ha encontrado una inspiración sorprendente: el Soyuz soviético. 28 Junio 2023. https://www.xataka.com/espacio/spacex-se-prepara-para-volver-a-lanzar-starship-starship-grandes-cambios-que-recuerdan-al-soyuz-sovietico

[2] Los 4 minutos de gloria del cohete Starship. nationalgeographic.com.es  02 de mayo de 2023. https://www.nationalgeographic.com.es/ciencia/starship-primera-mision-cohete-mas-potente-historia_19780

[3] Starship Explosion Video: Watch Elon Musk’s Rocket Explode After Launch. Wall Street Journal. 20 abr 2023.

3ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 7/febrero/2023

Tema 2. (20 puntos) Se requiere hacer el seguimiento a la trayectoria del globo aerostático del tema anterior, para descartar las sospechas de espionaje.

Dadas las coordenadas de un lugar considerado como de seguridad nacional p1(x,y)=[25,50] , se requiere revisar la distancia más cercana de la trayectoria y(x) del globo al punto de “interés”.

Se compararía la distancia mínima con el alcance las cámaras y sensores encontrados en los escombros del globo derribado.

Usando la trayectoria obtenida como resultado del tema anterior, se requiere:

a. Plantee el ejercicio describiendo los criterios usados, el método numérico y una tolerancia a usar.

b. Desarrolle el método para encontrar la raíz de la ecuación planteada, con al menos tres iteraciones.

c. Estime la cota de error, compare con la tolerancia descrita en el literal a.

Nota: Si el resultado del tema 1 no es satisfactorio, desarrolle el tema con y(x) = 70sin(0.1πx+0.5)

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (5 puntos)

1ra Evaluación 2022-2023 PAO II. 22/Noviembre/2022

Tema 1 (35 puntos) Según el principio de Arquímedes, la fuerza de flotación o empuje es igual al peso de el fluido desplazado por la porción sumergida de un objeto.  

Para la esfera de la figura, determine la altura h de la porción que se encuentra sobre el agua considerando las constantes con los valores mostrados.

ρ_esfera = 200 Kg/m³
ρ_agua    = 1000 kg/m³
r = 1 m
g =9.8 m/s²

Observe que la porción del volumen sobre el agua de la esfera puede ser determinado como la fórmula presentada.

F_empuje = ρ_agua V_sumergido g
F_peso    = ρ_esfera V_esfera g

V_{sobreagua} = \frac{\pi h^2}{3}(3r-h)

Para el desarrollo del ejercicio use el método del punto fijo.

Rúbrica: Planteamiento (5 puntos), iteraciones con el error (15 puntos), análisis de la convergencia (10 puntos). observación de resultados (5 puntos).

Referencia:
[1] Ejercicio 5.19. p143 Steven C. Chapra. Numerical Methods 7^th Edition.
[2] Fuerza de empuje y flotación. Ingenia UdeA. 29 Abril 2015

[3] Problema – Principio de Arquímedes y fuerza de empuje (Archimedes’ principle – problem). Problemas de Física.13 octubre 2019.

3ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 13/Septiembre/2022

Tema 1. (35 puntos) Un objeto sin identificar sale y entra del agua describiendo una trayectoria descrita por la ecuación mostrada en el intervalo para x entre [0, π].

y(x) = e^{-x/3} \sin \Big(x^2 - \frac{\pi}{4} \Big)

Suponga que el nivel del agua se encuentra en y=0.

a) Encuentre un punto de ingreso al agua del objeto, usando el método de la bisección. Realice las expresiones numéricas completas para 3 iteraciones.

b) Determine un punto de salida del agua del objeto, usando el método del punto fijo. Realice las expresiones numéricas completas para 3 iteraciones. Analice la convergencia del método.

c) En cada caso muestre las cotas de error.

d) Adjunte el desarrollo de cada algoritmo en Python

Rúbrica:  literal a, planteamiento e intervalo (3 puntos), tres iteraciones (6 puntos), literal b, planteamiento e intervalo (3 puntos), tres iteraciones (6 puntos). convergencia (9 puntos), literal c, (3 puntos). literal d (5 puntos)

Referencia: US releases UFO report with ‘no explanation’ for 143 sightings | DW News. 26 Junio 2021.

Battleship (7/10) Movie CLIP – That’s a Hit (2012) HD

1ra Evaluación 2022-2023 PAO I. 5/Julio/2022

Tema 1 (30 puntos) La trayectoria automática de un drone espía en un territorio de guerra esta descrita por x₁(t), y₁(t).
Drone
x₁(t) = cos(t)
y₁(t) = sin(2 t)

Antidrone
x₂(t) = sin(0.75 t)
y₂(t) = k t

Durante un intervalo de tiempo t entre [0,10] segundos, se dispara un misil antidrone con trayectoria descrita por x₂(t), y₂(t). El antidrone tiene un parámetro de control constante denominado k para y₂(t) que se establece antes del disparo.

Encuentre el valor de k que produce el impacto que destruye el Drone.

Para que se produzca el impacto, deben coincidir las coordenadas x,y para ambas trayectorias, al mismo valor de tiempo.

a) Realice el planteamiento del problema usando inicialmente las trayectorias en el eje x, donde para el intervalo de operación del misil antidrone, se observa más de un impacto.

b) Usando el método de Newton-Raphson encuentre el valor de t en el cual se pretende realizar el impacto al drone. Realice al menos 3 iteraciones de forma analítica, use tolerancia de 10^-4,

c) Realice el análisis de la convergencia del método.

d) Con el resultado de t anterior, determine el valor de la constante k para la expresión de y₂(t) que asegura el impacto contra el drone.

Rúbrica: literal a (5 puntos), iteraciones (9 puntos), errores entre iteraciones(6 puntos), análisis de convergencia(5 puntos), literal d(5 puntos)

Referencia: Domo de Hierro, así funciona el escudo antimisiles de Israel. CNN en español. 15-mayo-2021. https://www.youtube.com/watch?v=idikebBCXA0

Lo que hay que saber sobre los misiles hipersónicos disparados por Rusia contra Ucrania. cnnespanol.cnn.com 10-mayo-2022. https://cnnespanol.cnn.com/2022/05/10/misiles-hipersonicos-rusia-ucrania-trax/

1ra Evaluación 2021-2022 PAO II. 24/Noviembre/2021

Tema 2. (30 puntos) En un enlace radioeléctrico, se denomina “Zona de Fresnel” al espacio entre un emisor y receptor debe estar libre para minimizar atenuaciones a la onda de propagación.

Una obstrucción es una parte del perfil del terreno que se encuentra dentro de la Zona de Fresnel. El perfil del terreno es la expresión del polinomio del tema anterior P₃(d₁) en el intervalo [0,1300].

Cuando las antenas del transmisor y receptor se encuentran a la misma altura, la parte inferior del lóbulo, f(d₁), se determina a partir de las siguientes fórmulas:

Considere los valores de las constantes h_antena= 100 m, n =1, λ=0.3278, d_enlace=3700 m

Para analizar la obstrucción, se debe determinar los puntos de intersección entre P₃(d₁) y f(d₁)

a. Establezca un intervalo de análisis para cada raíz.

b. Realice al menos 3 iteraciones con el método de la Bisección para encontrar la primera raíz (izquierda)

c. Desarrolle al menos 3 iteraciones con el método del Punto fijo para encontrar el segundo punto (derecha)

d. Realice al menos 3 iteraciones con el método de Newton-Raphson para determinar la altura del perfil que genera el mayor obstáculo dentro del intervalo (altura máxima).

Rúbrica: literal a (4 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (6 puntos)

Referencia: Zona de Fresnel, https://youtu.be/v371pPLdf_c

3ra Evaluación 2021-2022 PAO I. 14/Septiembre/2021

Tema 2 (20 puntos) Continuando con el ejercicio del tema anterior de la carga con dos cables, se requiere encontrar:

a) El valor de θ para el cual la tensión en los dos cables es la mínima posible. Use un algoritmo para encontrar las raíces, es decir T_CA=T_CB

b) Desarrolle al menos 2 iteraciones

c) El valor correspondiente de la tensión.

Nota: Plantear la solución del problema anterior como una función en Python, para usarla como parte del desarrollo de éste tema

Rúbrica: Planteamiento completo del ejercicio (5 puntos), desarrollo de expresiones  (10 puntos), literal b (5 puntos)