1Eva_IT2019_T2 Catenaria cable

1ra Evaluación I Término 2019-2020. 2/Julio/2019. MATG1013

Tema 2. (30 puntos) Un cable en forma catenaria es aquel que cuelga entre dos puntos que no se encuentran sobre la misma línea vertical. Como se muestra en la figura 1, no está sujeta a más carga que su propio peso. Así, su peso en N/m actúa como una carga uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable.

En la figura 2, se ilustra un diagrama de cuerpo libre de una sección AB, donde TA y TB son las fuerzas de tensión en el extremo.

Con base en los balances de fuerzas horizontal y vertical, se obtiene para el cable el siguiente modelo:

y = \frac{T_A}{w} cosh \Big( \frac{w}{T_A}x \Big) + y_0 - \frac{T_A}{w}

Donde la altura y del cable está en función de la distancia x.

Además se tiene que:

cosh(z) = \frac{e^z+ e^{-z}}{2}

Utilice el método de Newton-Raphson para hallar el valor del parámetro TA dado los valores de los parámetros w=12, y0=6 de modelo que el cable tenga una altura de 15 metros para x=50

Rúbrica: Planteamiento del problema (10 puntos), obtener la derivada (5 puntos), plantear el método (5 puntos), iteraciones (5 puntos), verificar tolerancia (5 puntos)


Nota: Todos los temas deben mostrar evidencia del desarrollo del método numérico planteado.

Referencia: Chapra 5Ed Problema 8.17 p219 pdf243. Sears&Zemanski Vol1 12Ed problema 5.63. Cuerda con masa p173. https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria

1Eva_IIT2018_T4 Tasa de interés en hipoteca

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 4. Para pagar una hipoteca de una casa durante n periodos de tiempo se usa la fórmula:

P = A\Big(\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \Big)

En ésta ecuación, P es el valor presente de la casa, A es el valor del pago periódico de la deuda durante n periodos y la tasa de interés por periodo es i.

Suponga que la casa tiene un valor presente de 70000 dólares y deberá ser pagada mediante 1200 dólares mensuales por 25 años (300 meses).

a) Plantee la ecuación

b) Encuentre un intervalo para i donde haya un cambio de signo en la función

c) Aplique el método de Newton

1Eva_IIT2018_T2 Distancia mínima a un punto

1ra Evaluación II Término 2018-2019. 10/Noviembre/2018. MATG1013

Tema 2. Aproxime con un grado de exactitud de 0.0001 el valor de x que en la gráfica de y=ex está más cerca al punto P(1,1).

a) Plantear la ecuación

b) Hallar un intervalo de existencia y de convergencia


Referencias: 

Gigante asteroide con su propia Luna pasará en cercanías de la Tierra . https://www.eluniverso.com/noticias/2019/05/23/nota/7344362/gigante-asteroide-su-propia-luna-pasara-cercanias-tierra

 Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra

 

Referencia: https://spaceplace.nasa.gov/comet-quest/sp/

3Eva_IT2018_T1 Intersección de dos círculos

3ra Evaluación I Término 2018-2019. 11/Septiembre/2018. MATG1013

Tema 1. (30 puntos) Encuentre las raíces de las ecuaciones simultaneas siguientes:

(x-4)^2 + (y-4)^2 = 5 x^2 + y^2 = 16

a) Use el enfoque gráfico para obtener los valores iniciales.

b) Encuentre aproximaciones refinadas con el Método de Newton-Raphson

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b  (20 puntos)


Referencia: Un asteroide dos veces más grande que un avión Boeing 747 pasará muy cerca la Tierra. https://www.eluniverso.com/noticias/2018/08/28/nota/6927335/asteroide-dos-veces-mas-grande-que-avion-pasara-muy-cerca-tierra


Europa Press 28 de agosto, 2018 – 11h51

3Eva_IIT2017_T1 Punto fijo

3ra Evaluación II Término 2017-2018. Febrero 20, 2018. MATG1013

Tema 1. Sea g: [a,b] →ℜe (reales) una función diferenciable tal que g(x) ∈ [a,b], para toda x ∈ [a,b]. Demuestre o refute las siguientes afirmaciones.

a) g tiene al menos un punto fijo en [a,b]

b) g tiene un punto fijo único en [a,b]

3Eva_IT2012_T1 Sistema Ecuaciones no lineales

3ra Evaluación I Término 2012-2013. 11/Septiembre/2012. ICM00158

Tema 1. Dado el sistema de ecuaciones no lineales

3x^2 + 3y^2 - 15 = 0 2x^2y- 1 = 0

x∈R;   ≥ 1

a. Realice un bosquejo gráfico y especifique el número de soluciones del sistema.

b. Determine la ecuación en términos de una variable para resolver el sistema.

c. Justifique un intervalo donde se encuentre la solución de la ecuación planteada en literal b.

d. Aproxime la solución empleando el método de Newton-Raphson con tolerancia de 10-6.

e. Escriba correctamente la solución hallada.

3Eva_IIT2011_T1_MN Precios mensuales

3ra Evaluación II Término 2011-2012. 14/Febrero/2012. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. (30 puntos) Suponga que el precio de un producto f(x) depende del tiempo x en el que se lo ofrece al mercado con la siguiente relacion:

f(x) = 25x e^{-0.1x} 0\leq x \leq 12

en donde x es tiempo en meses.

Se desea determinar el dia en el que el precio sube a 80.

a. Evalúe f con x en meses hasta que localice una raíz real (cambio de signo) y trace la forma aproximada de f(x)

b. Use el Método de Newton-Raphson para calcular la respuesta (mes) con precisión 10-4. Exprese esta respuesta en días (1mes = 30 días)

c. Encuentre el día en el cual el precio será máximo. Use el método de Newton con precisión 10-4

1Eva_IIT2010_T3 Raíz de Polinomio

1ra Evaluación II Término 2010-2011. 7/Diciembre/2010. ICM00158

Tema 3. El polinomio P(x) tiene una única raiz positiva.

P(x) = x3 – x2 -x -1

Encuentre un intervalo donde se garantice la existencia de ésta raíz (justifique).

Utilizando el método del punto fijo, presente una tabla que contenga la sucesión de valores, el error

en = | xn – xn-1|, n≥1,

y con un criterio de interrupción del método iterativo de en ≤ 10-9

1Eva_IT2010_T2_MN Uso de televisores

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 6/Julio/2010. ICM02188. Métodos Numéricos

Tema 2. La curva de encendido de televisores en la ciudad de Guayaquil está en función de la hora del dia y del día de la semana.

https://www.istockphoto.com/es/vector/familia-feliz-viendo-tv-ilustraci%C3%B3n-de-dibujos-animados-modernos-gente-personajes-gm909440758-250490142

Suponga que en un intervalo de 4 horas, un determinado día , el porcentaje de televisores encendidos está dado por la función:

p(x) =\frac{1}{2.5} \Big(-10 \sin \Big(\frac{12x}{7} \Big) e^{-\frac{24x}{7}} + \frac{48x}{7}e^{-\frac{8x}{7}} + 0.8 \Big)

0≤x≤4

x: Tiempo en horas
p: porcentaje en horas de televisores encendidos

a. Encuentre un intervalo en que se encuentre el máximo de la función p

b. Utilice el método de Newton para encontrar el máximo de la función p. Calcule la respuesta con un error máximo de 0.0001

c. Encuentre el mínimo de la función p en el mismo intervalo de cuatro horas con el mismo método y con la misma precisión anteriores.


Gráfica de referencia

 

1Eva_IT2010_T1_MN Demanda y producción sin,log

1ra Evaluación I Término 2010-2011. 6/Julio/2010. ICM02188 Métodos Numéricos

Tema 1. La demanda de un producto en el intervalo de tiempo [0,3] tiene forma sinusoidal.

Al detectar la demanda, una empresa puede iniciar su producción a partir del instante 1, y la cantidad producida tiene forma logaritmica natural.

Se necesita encontrar el instante a partir del cual, la producción satisface a la demanda del producto.

Use el método de la Bisección para localizar el intervalo de la respuesta y obtenga la respuesta con error menor a 0.01