Sea un curva regular r:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n \mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\cdots ,r_{n}(t)), la longitud de la curva desde a hasta b se define como:
L=\int_{a}^{b}\left \| {r}'(t) \right \|dt
La longitud de curva desde el valor inicial a hasta un valor t\in(a,b], se conoce como funcion longitud de curva:
L(t)=\int_{a}^{t}\left \| {r}'(t) \right \|dt
Sea r(t) un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, la curvatura en cada punto t se define como:
\kappa (t)=\frac{\left \| {r}'(t)\times{r}''(t) \right \|}{\left \| {r}'(t) \right \|^{3}}
La curvatura es un escalar que mide la rapidez de como la curva se aleja de la recta tangente, mide cuanto la curva ‘se curva’ en cada punto.
Para ilustrarlo, considere el ángulo \phi que forma el vector tangente unitario T respecto al eje positivo X, ver Figura 4.4.1, este es el angulo que mide la dirección del vector velocidad de la curva.
Figura 4.4.1. Ángulo de inclinación que forma el vector tangente unitario respecto al eje x.
La curvatura \kappa mide la rapidez de la variación de la dirección \phi del vector velocidad de la curva, es decir del vector {r}'(t), el cual tiene la misma dirección que T; por lo cual la curvatura se puede expresar como:
\kappa = \left | \frac{d\phi}{ds} \right |
Donde s es la longitud de arco de la curva, y se toma esta derivada para no depender de una parametrización en términos de t.
Para profundizar como parametrizar una curva respecto su longitud de arco, se recomienda visitar 4.4.1. Reparametrizaciones.
En los puntos donde la recta tangente se mantiene cerca de la curva, la curvatura es menor, pues el ángulo \phi experimenta pequeños cambios.
En los puntos donde la recta tangente se mantiene lejos de la curva, la curvatura es mayor, pues el ángulo \phi experimenta grandes cambios, véase la Figura 4.4.2.
La curvatura es nula cuando la recta tangente yace siempre sobre la curva, por ejemplo en una recta.
Figura 4.4.2. Curvatura en cada punto, mide que tan cerca o lejos está la recta tangente respecto a la curva.
La curvatura de un circulo de radio r es \kappa=\frac{1}{r}, entonces para alguna otra curva r(t), un punto donde la \kappa \neq 0, es posible asociar una circunferencia tangente y con la misma curvatura, cuya radio es r=\frac{1}{\kappa}, y su centro en la dirección normal a la curva.
Figura 4.4.3. Círculo Osculador.
La curvatura es mas comprensible en curvas en el plano, sin embargo también existe en curvas en el espacio.
Sea r(t) un curva regular tres veces diferenciable, parametrizada en la variable t, y tal que su curvatura es siempre diferente de cero, la torsión en cada punto t se define como:
\tau (t)=\frac{ \left( \; {r}'(t) \times {r}''(t) \; \right) \cdot {r}'''(t) }{\left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \|^{2}}
La torsión de una curva mide la rapidez con que una curva se aleja de su plano osculador.
Para ilustrarlo (de una manera informal) considere el angulo \theta que el plano osculador forma respecto al plano XY, la torsión mide la rapidez con la que cambia el angulo \theta, ver Figura 4.4.4.
Figura 4.4.4. Torsión de una curva mide cuanto la curva se aleja de su plano osculador.