4.3. Vector Tangencial, Normal, Binormal, Planos asociados y componentes de la aceleración.

Definición 4.3.1 Vector Tangente Unitario

Sea r(t) una curva regular, parametrizada en la variable t, se define el vector tangente unitario como:
T(t)=\frac{{r}'(t)}{\left \| {r}'(t) \right \|}

En cada punto de la curva apunta en la dirección tangente, ver Figura 4.3.1.

Figura 4.3.1. Vector Tangente unitario, en cada punto es tangente a la curva.

Definición 4.3.2 Vector Normal Unitario

Sea r(t) un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, se define el vector normal unitario como:
N(t)=\frac{{T}'(t)}{\left \| {T}'(t) \right \|}

En cada punto de la curva va en dirección perpendicular a la linea tangente tangente, ver Figura 4.3.2

Figura 4.3.2. Vector Normal unitario, este vector es perpendicular a la linea tangente en cada punto de la curva, va en la dirección normal de la curva.

Definición 4.3.3 Vector Binormal Unitario

Sea r(t) un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, se define el vector binormal unitario como:
B(t)=T(t) \times N(t)

En cada punto de la curva apunta en dirección normal al plano formado por la tangente y la perpendicular, ver Figura 4.3.3, si el vector Binormal es nulo, se dice que la curva esta contenida en un plano.

Figura 4.3.3. Vector Binormal unitario, es perpendicular la plano formado por la linea tangente y perpendicular en cada punto de la curva.

  • Más formulas para conseguir los vectores \mathbf{T, \; N \; y \; B}.

Sea r(t) un curva regular parametrizada en la variable t, se puede conseguir los vectores antes definidos mediante:
T(t)=N(t) \times B(t)
N(t)=B(t) \times T(t)
B(t)=\frac{{r}'(t) \times {r}''(t)}{\left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \|}
N(t)=\frac{ \left ( {r}'(t) \times {r}''(t) ) \times {r}'(t) \; \right )}{\left \| ( {r}'(t) \times {r}''(t) ) \times {r}'(t) \right \|}

Los vectores T, \; N \; y \; B son mutuamente ortogonales, y forman una base ortonormal para cada punto de la curva, ver Figura 4.3.4.

Figura 4.3.4. Triedro Frenet Serret, formado por T, N y B, forman una base ortonormal en cada punto de la curva.

Definición 4.3.4. Plano Normal

Sea r(t) una curva regular, parametrizada en la variable t, el plano normal en el punto r(t_{0}) tiene como vector normal al vector Tangente unitario T, su ecuación es:
\pi _N:\left ( \bar{x}-r \left ( t_{0} \right ) \right ) \cdot T=0

Aqui \bar{x}=(x,y,z) es un punto desconocido en el espacio.

Figura 4.3.5. Plano Normal, tiene como vector normal al vector Tangente unitario en cada punto de la curva.

Definición 4.3.5. Plano Rectificante

Sea r(t) una curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, el plano rectificante en el punto r(t_{0}) tiene como vector normal al vector Normal unitario N, su ecuación es:
\pi _R:\left ( \bar{x}-r \left ( t_{0} \right ) \right ) \cdot N=0

Aqui \bar{x}=(x,y,z) es un punto desconocido en el espacio, el plano rectificante contiene al vector T y B.

Figura 4.3.6. Plano Rectificante, tiene como vector normal al vector Normal unitario en cada punto de la curva.

Definición 4.3.5. Plano Osculador

Sea r(t) una curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, el plano osculador en el punto r(t_{0}) tiene como vector normal al vector Binormal unitario B, su ecuación es:
\pi _B:\left ( \bar{x}-r \left ( t_{0} \right ) \right ) \cdot B=0

Aqui \bar{x}=(x,y,z) es un punto desconocido en el espacio, el plano osculador contiene al vector T y N.

Figura 4.3.7. Plano Binormal, tiene como vector normal al vector Binormal unitario en cada punto de la curva.

Los tres planos anteriores se conocen como los planos principales de la curva en cada punto, forman un sistema de referencia local, ver Figura 4.3.8.

Figura 4.3.8. En cada punto de la curva, los planos principales y los vectores T, N y B forman un sistema de referencia local.

Los vectores T,N,B forman un sistema de referencia respecto al cual se puede descomponer algún otro vector, por ejemplo el vector aceleración {r}''(t).

Debido a que los vectores T,N,B forman una base ortonormal, al expresar un vector como combinación lineal de esta base, los coeficientes que multiplican a cada vector de la base para poder formar la combinación son el producto punto con cada uno respectivamente.

Definición 4.3.6. Componentes de la aceleración: Aceleración Tangencial, Normal y Binormal.

Sea r(t) un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable t, el vector aceleración puede expresarse como una combinación lineal de T,N,B donde que cada vector son la componente Tangencial, Normal y Binormal de la aceleración respectivamente:
{r}''(t)= \overrightarrow{a}(t)= \overrightarrow{a_{T}}(t) + \overrightarrow{a_{N}}(t) +\overrightarrow{a_{B}}(t)

Donde se cumple que:
Aceleración tangencial: \overrightarrow{a_{T}}(t) = \left (\overrightarrow{a}(t) \cdot T\right )T
Aceleración normal: \overrightarrow{a_{N}}(t) = \left (\overrightarrow{a}(t) \cdot N\right )N
Aceleración binormal: \overrightarrow{a_{B}}(t) = \left (\overrightarrow{a}(t) \cdot B\right )B

Como se conoce que \left \| T \right \|=\left \| N \right \|=\left \| B \right \|=1, entonces las magnitudes de las componentes de la aceleración, para curvas en el plano y en el espacio, pueden ser expresadas como:

  • Para curvas en el plano

Magnitud de la aceleración tangencial:
a_{T}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot T =\frac{ {r}''(t) \cdot {r}'(t) }{ \left \| {r}' \right \| }

Magnitud de la aceleración normal:
a_{N}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot N = \frac{ \left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \| }{ \left \| {r}'(t) \right \|}

Magnitud de la aceleración binormal:
a_{B}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot B = 0

Ademas como la aceleración total es el vector resultante, su magnitud es:
a(t)^{2} = a_{T}(t)^{2}+a_{N}(t)^{2}
En la Figura 4.3.9 se muestra la aceleración junto a sus componentes para una curva en el plano.

Figura 4.3.9. Componentes de la aceleración para una curva en el plano.

  • Para curvas en el espacio

Magnitud de la aceleración tangencial:
a_{T}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot T =\frac{ {r}''(t) \cdot {r}'(t) }{ \left \| {r}' \right \| }

Magnitud de la aceleración normal:
a_{N}(t) = \overrightarrow{a}(t) \cdot N = \frac{ \left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \| ^{2} }{ \left \| ({r}'(t) \times {r}''(t)) \times {r}'(t) \right \|}

Magnitud de la aceleración binormal:
a_{B}(t)= \overrightarrow{a}(t) \cdot B = \frac{ {r}''(t) \cdot ({r}'(t) \times {r}''(t))}{\left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \|}

Ademas como la aceleración total es el vector resultante, su magnitud es:
a(t)^{2} = a_{T}(t)^{2}+a_{N}(t)^{2}+a_{B}(t)^{2}

En la Figura 4.3.10 se muestra la aceleración junto a sus componentes para una curva en el espacio.

Figura 4.3.10. Componentes de la aceleración para una curva en el espacio.

 


4.1. Parametrizaciones de trayectorias
4.2.Velocidad, rapidez y aceleración de una curva
4.3. Vector Tangencial, Normal y Binormal, Planos asociados y componentes de la aceleración.
4.4. Longitud de arco, curvatura y torsión de curvas
4.4.1. Reparametrizaciones respecto a la longitud de arco
4.5. Funciones vectoriales de variable vectorial
4.6. Divergencia y Rotacional de un campo vectorial