5.2. Integral de linea de funciones escalares

Definición 5.2.1. Integral de linea escalar

Sea f:U\subseteq\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}, un campo escalar continuo en U, y sea C un camino continuo o continuo a trozos dado por la función vectorial \vec{r}:I\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n} . La integral de linea escalar de f sobre el camino r se define como:
\int_{C}fdr

Si el campo f es la densidad de la curva, la integral del linea calcula la masa de la curva C.
Si el campo f=1, la integral de linea escalar calcula la longitud de la curva C.

Si el camino C admite una parametrización en la variable t, dada por \vec{r}:[a,b]\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{n}\mid\vec{r}(t)=\left[r_{1}(t),r_{2}(t),\cdots,r_{n}(t)\right], entonces la integral de linea escalar se puede expresar como:
\int_{C}fdr=\int_{a}^{b}f\left(\vec{r}(t)\right)\left\|\vec{r}'(t)\right\|dt

La integral de linea escalar realiza una suma infinita de todos los productos entre el modulo del vector velocidad \left\|\vec{r}'(t)\right\| y el valor del campo escalar f a lo largo de la curva, ver Figura 5.3.1.

Figura 5.3.1. En cada punto, se realiza el producto entre la magnitud del vector velocidad y el campo escalar. La integral de linea escalar toma la sumatoria infinita de todos los productos a lo largo de la curva.


5.1. Integral de línea de funciones vectoriales
5.2. Integral de línea de funciones escalares
5.3. Dependencia e independencia de la trayectoria