Autocorrelación Propiedades

Referencia León-García 9.6 p522

Potencia Promedio

La función autocorrelación a τ=0 entrega la potencia promedio (segundo momento) del proceso:

$R_{X}(0) = E[X(t)^2]$

para todo valor de t

Función par respecto a τ

$R_{X}(\tau) = E[X(t+\tau)X(t)]$ $= E[X(t)X(t+\tau)] = R_{X}(-\tau)$

Mide la tasa de cambio

La función de autocorrelación es una medida de la tasa de cambio de un proceso aleatorio

$P[|X(t+\tau) - X(t)| > \epsilon] = P[(X(t+\tau) - X(t))^2 > \epsilon ^2]$ $\leq \frac{E[(X(t+\tau) - X(t))^2]}{\epsilon ^2}$ $=\frac{2\{R_X(0) - R_X(\tau) \}}{\epsilon ^2}$

como resultado de usar la inequidad de Markov

tiene maximo en τ=0

si se usa la inequidad de Cauchy-Schwarz:

$E[XY]^2 \leq E[X^2]E[Y^2]$ $R_X(\tau )^2 =$ $E[X(t+ \tau) X(t)]^2 \leq E[X^2(t+ \tau)] E[X^2(t)]$ $= R_X(0)$ $|R_X(\tau)| \leq R_X(0)$

Periódica en media cuadrática

si $R_X(0) = R_X(d)$, entonces $R_X(\tau)$ es periódica con periodo d y X(t) es «periódica en media cuadrática».

$R_X(\tau + d)| = R_X(\tau)$

se aproxima a el cuadrado de la media cuando τ tiende a infinito