Referencia León-García 9.6 p522
Potencia Promedio
La función autocorrelación a τ=0 entrega la potencia promedio (segundo momento) del proceso:
R_{X}(0) = E[X(t)^2]para todo valor de t
Función par respecto a τ
R_{X}(\tau) = E[X(t+\tau)X(t)] = E[X(t)X(t+\tau)] = R_{X}(-\tau)Mide la tasa de cambio
La función de autocorrelación es una medida de la tasa de cambio de un proceso aleatorio
P[|X(t+\tau) - X(t)| > \epsilon] = P[(X(t+\tau) - X(t))^2 > \epsilon ^2] \leq \frac{E[(X(t+\tau) - X(t))^2]}{\epsilon ^2} =\frac{2\{R_X(0) - R_X(\tau) \}}{\epsilon ^2}como resultado de usar la inequidad de Markov
tiene maximo en τ=0
si se usa la inequidad de Cauchy-Schwarz:
E[XY]^2 \leq E[X^2]E[Y^2] R_X(\tau )^2 = E[X(t+ \tau) X(t)]^2 \leq E[X^2(t+ \tau)] E[X^2(t)] = R_X(0) |R_X(\tau)| \leq R_X(0)Periódica en media cuadrática
si R_X(0) = R_X(d) , entonces R_X(\tau) es periódica con periodo d y X(t) es «periódica en media cuadrática».
R_X(\tau + d)| = R_X(\tau)se aproxima a el cuadrado de la media cuando τ tiende a infinito