Autocovarianza PM

Referencia: León García Ejemplo 9.10 p495, Gubner Ejemplo 10.8 p389, Gubner Ejemplo 10.17 p396

Sea X(t) = cos(ω t + Φ), donde Φ es uniforme en el intervalo (-π,π) Encontrar la autocovarianza de X(t).

la variable aleatoria Φ tiene distribución uniforme en el intervalo, por lo que la función f_Φ(φ) es constante = 1/[π – (-π)] = 1/2π.

Recordamos que:

$E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx$

Media (León-García 4.15 p158):

$m_X(t) = E[cos(\omega t + \Phi)] =$ $= \int_{-\pi}^{\pi} cos(\omega t + \Phi) \frac{1}{2\pi} d\Phi$ $= \left. \frac{-1}{2\pi} (sin (\omega t + \Phi)) \right|_{-\pi}^{\pi}$ $= \frac{-1}{2\pi} [sin (\omega t + (-\pi)) - sin (\omega t + \pi)] = 0$

Autocovarianza

dado que el valor esperado es cero, la autocovarianza es igual a la autocorrelación

$C_{X} (t_1,t_2) = R_X (t_1,t_2) - E[X(t_1,t_2)]$ $= R_X (t_1,t_2) = E[cos(\omega t_1 + \Phi) cos(\omega t_2 +\Phi)]$

Recordando que:

$E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx$ $cos(x) cos(y) = \frac{cos(x-y) + cos(x+y) }{2}$

se tiene que:

$= \int_{-\pi}^{\pi} [cos(\omega t_1 + \Phi) cos(\omega t_2 +\Phi)] \frac{1}{2\pi} d\Phi$ $= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))+cos(\omega (t_1 + t_2)+ 2\Phi)}{2} \frac{1}{2\pi} d\Phi$ $= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{1}{2\pi} d\Phi + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 + t_2 )+ 2\Phi)}{2} \frac{1}{2\pi} d\Phi$

El primer integral, el coseno no depende de Φ, mientras que el segundo integral es semejante al intergral de la media y cuyo resultado es cero.

$= \left. \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{\Phi}{2\pi} \right|_{-\pi}^{\pi} + 0$
$C_{X} (t_1,t_2) = R_X (t_1,t_2) =$
$= \frac{1}{2} cos(\omega (t_1 - t_2))$