Referencia: León García Ejemplo 9.10 p495, Gubner Ejemplo 10.8 p389, Gubner Ejemplo 10.17 p396
Sea X(t) = cos(ω t + Φ), donde Φ es uniforme en el intervalo (-π,π) Encontrar la autocovarianza de X(t).
la variable aleatoria Φ tiene distribución uniforme en el intervalo, por lo que la función fΦ(φ) es constante = 1/[π – (-π)] = 1/2π.
Recordamos que:
E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dxMedia (León-García 4.15 p158):
m_X(t) = E[cos(\omega t + \Phi)] = = \int_{-\pi}^{\pi} cos(\omega t + \Phi) \frac{1}{2\pi} d\Phi = \left. \frac{-1}{2\pi} (sin (\omega t + \Phi)) \right|_{-\pi}^{\pi} = \frac{-1}{2\pi} [sin (\omega t + (-\pi)) - sin (\omega t + \pi)] = 0Autocovarianza
dado que el valor esperado es cero, la autocovarianza es igual a la autocorrelación
C_{X} (t_1,t_2) = R_X (t_1,t_2) - E[X(t_1,t_2)] = R_X (t_1,t_2) = E[cos(\omega t_1 + \Phi) cos(\omega t_2 +\Phi)]Recordando que:
E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx cos(x) cos(y) = \frac{cos(x-y) + cos(x+y) }{2}se tiene que:
= \int_{-\pi}^{\pi} [cos(\omega t_1 + \Phi) cos(\omega t_2 +\Phi)] \frac{1}{2\pi} d\Phi = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))+cos(\omega (t_1 + t_2)+ 2\Phi)}{2} \frac{1}{2\pi} d\Phi = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{1}{2\pi} d\Phi + \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 + t_2 )+ 2\Phi)}{2} \frac{1}{2\pi} d\PhiEl primer integral, el coseno no depende de Φ, mientras que el segundo integral es semejante al intergral de la media y cuyo resultado es cero.
= \left. \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{\Phi}{2\pi} \right|_{-\pi}^{\pi} + 0
C_{X} (t_1,t_2) = R_X (t_1,t_2) =
= \frac{1}{2} cos(\omega (t_1 - t_2))