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2Eva_IIT2010_T4 Densidad espectral de potencia

2da Evaluación II Término 2010-2011. Febrero, 2011. FIEC03236

Tema 4 (30 puntos). Asuma un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio X(t) con función de autocorrelación:

R_X(t) = 16 + e^{-|t|} , t \in \Re Y(t) = 2 + X(t) cos (12\pi t)

a) Calcule la potencia promedio de X(t)
b) Determine la funcion de autocorrelación RY(t, t+τ)
c) Determine la densidad espectral de potencia Y(t)

Pares de transformadas de Fourier

x(t) \leftrightarrow X(\omega) e^{-a|t|} \leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + \omega ^2} , a>0
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2Eva_IIT2010_T3 Estacionario en sentido amplio

2da Evaluación II Término 2010-2011. Febrero, 2011. FIEC03236

Tema 3 (20 puntos). Se define un proceso estocástico:

X(t) = A cos(\omega t)+ B sen(\omega t)

donde A y B son variables aleatorias gausianas independientes e identicamente distribuidas (iid) con valores esperados iguales a cero y varianza σ2 .

Determine si X(t) es estacionario en el sentido amplio. Demuestre explícitamente su respuesta.

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2Eva_IIT2010_T2 Autocorrelación

2da Evaluación II Término 2010-2011. Febrero, 2011. FIEC03236

Tema 2 (30 puntos). Asuma que X(t) = At +B es un proceso estocástico.
A y B son variables aleatorias independientes que tienen ambas la misma función de densidad uniforme en [-1,1].

Determine:

a) El valor esperado E[X(t)] y autocorrelación RX(t,t+τ)
b) la función de densidad fX(x) de la variable aleatoria de X(1)
c) ¿Existe un valor de t1 y t2 para los cuales X(t1) y X(t2) son variables aleatorias independientes? demuestre su respuesta

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2Eva_IIT2010_T1 Limite central

2da Evaluación II Término 2010-2011. Febrero, 2011. FIEC03236

Tema 1 (20 puntos). En un proceso de entrega de paquetes, se cometen errores en la entrega con una probabilidad de 0.15.

Use el terorema del límite central para determinar la probabilidad de que existan 20 o menos errores en 100 entregas

Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt
x Q(x) x Q(x)
0 5.00E-01 2.7 3.47E-03
0.1 4.60E-01 2.8 2.56E-03
0.2 4.21E-01 2.9 1.87E-03
0.3 3.82E-01 3.0 1.35E-03
0.4 3.45E-01 3.1 9.68E-04
0.5 3.09E-01 3.2 6.87E-04
0.6 2.74E-01 3.3 4.83E-04
0.7 2.42E-01 3.4 3.37E-04
0.8 2.12E-01 3.5 2.33E-04
0.9 1.84E-01 3.6 1.59E-04
1.0 1.59E-01 3.7 1.08E-04
1.1 1.36E-01 3.8 7.24E-05
1.2 1.15E-01 3.9 4.81E-05
1.3 9.68E-02 4.0 3.17E-05
1.4 8.08E-02 4.5 3.40E-06
1.5 6.68E-02 5.0 2.87E-07
1.6 5.48E-02 5.5 1.90E-08
1.7 4.46E-02 6.0 9.87E-10
1.8 3.59E-02 6.5 4.02E-11
1.9 2.87E-02 7.0 1.28E-12
2.0 2.28E-02 7.5 3.19E-14
2.1 1.79E-02 8.0 6.22E-16
2.2 1.39E-02 8.5 9.48E-18
2.3 1.07E-02 9.0 1.13E-19
2.4 8.20E-03 9.5 1.05E-21
2.5 6.21E-03 10.0 7.62E-24
2.6 4.66E-03
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2Eva_IIT2009_T4 pdf graficar

2da Evaluación II Término 2009-2010. Febrero 4, 2010 . FIEC03236

Tema 4 (20 puntos).Un proceso estocástico consiste de cuatro funciones del tiempo:

X(t, \xi_1) = 1 X(t, \xi_2) = cos(t) X(t, \xi_3) = sen(t) X(t, \xi_4) = e^{-|t/\pi|}

cada una con probabilidad 0.1, 0.25, 0.3, 0.35 respectivamente.

Dibuje las funciones de tiempo (en forma aproximada)

a) Dibuje la función de distribución y la función densidad de probabilidad de la variable aleatoria definida a t=π, esto es, X1=X(t=π).
b) ¿Es este proceso estacionario de orden 1? Demostrar cualquiera que sea su respuesta

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2Eva_IIT2009_T3 Densidad espectral de potencia

2da Evaluación II Término 2009-2010. Febrero 4, 2010 . FIEC03236

Tema 3 (30 puntos). Un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio X(t) con densidad espectral de potencia:

\Im_{XX}(\omega) = 50 \pi \delta(\omega) + \frac{3}{1+\left(\frac{\omega}{2}\right)^2}

se aplica a una red con respuesta impulso

h(t) = 2 e^{-2t} \mu (t)

obteniendo luego de la red Y(t)
Determine:
a) Var[X(t)]
b) La densidad espectral de potencia de la respuesta de Y(t)
c) La potencia de Y(t)

Pares de Transformadas de Fourier:

x(t) \leftrightarrow X(\omega) 1 \leftrightarrow 2 \pi \delta(\omega) e^{-at}\mu (t) \leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega} te^{-at}\mu (t) \leftrightarrow \frac{1}{(a+j\omega)^{2}} t^{n}e^{-at}\mu (t) \leftrightarrow \frac{n!}{(a+j\omega)^{n+1}} a>0
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2Eva_IIT2009_T2 teorema limite central

2da Evaluación II Término 2009-2010. Febrero 4, 2010 . FIEC03236

Tema 2 (20 puntos). Se  ha calculado la suma de una lista de 100 números reales .

Suponga que los números se redondean al entero más cercano de tal manera que cada número tiene un error que está distribuido uniformemente en el intervalo (-0.5, 0.5).

Usando el teorema del límite central estime la probabilidad de que el error en la suma exceda de 6.

Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt
x Q(x) x Q(x)
0 5.00E-01 2.7 3.47E-03
0.1 4.60E-01 2.8 2.56E-03
0.2 4.21E-01 2.9 1.87E-03
0.3 3.82E-01 3.0 1.35E-03
0.4 3.45E-01 3.1 9.68E-04
0.5 3.09E-01 3.2 6.87E-04
0.6 2.74E-01 3.3 4.83E-04
0.7 2.42E-01 3.4 3.37E-04
0.8 2.12E-01 3.5 2.33E-04
0.9 1.84E-01 3.6 1.59E-04
1.0 1.59E-01 3.7 1.08E-04
1.1 1.36E-01 3.8 7.24E-05
1.2 1.15E-01 3.9 4.81E-05
1.3 9.68E-02 4.0 3.17E-05
1.4 8.08E-02 4.5 3.40E-06
1.5 6.68E-02 5.0 2.87E-07
1.6 5.48E-02 5.5 1.90E-08
1.7 4.46E-02 6.0 9.87E-10
1.8 3.59E-02 6.5 4.02E-11
1.9 2.87E-02 7.0 1.28E-12
2.0 2.28E-02 7.5 3.19E-14
2.1 1.79E-02 8.0 6.22E-16
2.2 1.39E-02 8.5 9.48E-18
2.3 1.07E-02 9.0 1.13E-19
2.4 8.20E-03 9.5 1.05E-21
2.5 6.21E-03 10.0 7.62E-24
2.6 4.66E-03
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2Eva_IIT2009_T1 Densidad Espectral de Potencia

2da Evaluación II Término 2009-2010. Febrero 4, 2010 . FIEC03236

Tema 1 (30 puntos). Asuma un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio X(t) con función de autocorrelación

R_X(t) = e^{-|t|} t \in \Re

a) Determine la densidad espectral de potencia del proceso

A(t) = X(t) - X(t-1)

Si se define el proceso estocástico

B(t) = X(t) cos(t+ \rho)

donde ρ es una variable aleatoria independiente de X(t) con distribución uniforme en el intervalo (0, π), determine:

b) Es B(t) estacionario en el sentido amplio
c) La mínima diferencia de tiempos para la cual dos variables aleatorias de B(t) son independientes entre sí.

Indicación: 2 cos(a) cos(b) = cos(a + b) + cos(a − b)