ESTG1003 – FCNM – ESPOL
Tema 4 (25 puntos). Dada la siguiente función de auto-correlación RX(ζ) del proceso estocástico X(t) que es estacionario en el sentido amplio (WSS). 
a) Determine la varianza X(t)
b) Encuentre la densidad espectral de potencia
c) Calcule la potencia promedio de X(t)
Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b(10 puntos) literal c (5 puntos)
Tema 3 (20 puntos). La función densidad conjunta de X, Y es:
f(x,y) = \frac{1}{y} e ^{-(y + x/y)}
donde: 0<x<∞ , 0<y<∞ \
a) Verifique que es una función de densidad conjunta
b) Determine las funciones de densidad marginal
c) Encuentre la Covarianza(X, Y)
Rúbrica: literal a y b (7 puntos), literal c (6 puntos)
Tema 2 (25 puntos). Dado el proceso o señal diente de sierra, descrito en la gráfica, con periodo π/3. 
Suponga que X es una variable aleatoria uniforme, distribuida en el intervalo de (0, π].
a) Determine la función densidad de probabilidad para Y
b) Calcule la función de distribución acumulada para Y
c) Grafique su resultado
Rúbrica: literales a y b (10 puntos cada uno), literal c (5 puntos)
Tema 1 (30 puntos). En una ciudad existen 3 cadenas de supermercados (X, Y, Z) y se dispone de la movilidad de los clientes entre ellos. 
En septiembre de un total de 1 millón de clientes, la cuarta parte realiza las compras en el supermercado X, 1/3 va al supermercado Y, mientras que 5/12 adquiere productos en el supermercado Z.
En cada mes el supermercado X retiene el 90% de sus clientes y pierde el 10% que van al supermercado Y.
Se determinó que del supermercado Y solo retiene el 5% de sus clientes y el 85% se cambian a X y el resto va a Z.
El supermercado Z retiene solo el 40% de su clientela, el 50% va al supermercado X y el 10 % se cambia a Y.
a) Determine los estados del problema
b) Realice el diagrama de transición
c) Elabore la matriz de transición correspondiente
d) Clasifique los estados del problema
e) Determine el vector de probabilidad estable
f) ¿Cuál es la proporción de clientes para los supermercados al mes siguiente?
g) Suponga que observa un cliente del supermercado Y:
1. Determine la probabilidad que en el siguiente periodo sea cliente de Z.
2. Luego el cliente del numeral anterior al segundo periodo decida cambiarse a X
3. Para un cliente de Y, determine la probabilidad que luego de tres periodos no termine comprando en X.
Rúbrica: Literales a al f (4 puntos cada uno), literal g (6 puntos).
Tema 5 (10 puntos). Si el proceso estocástico X(t) del tema anterior pasa por un sistema con función de transferencia h(t) 
h(t) = 4 e^{-2t} \mu (t)
a) Determine la densidad espectral de potencia en la salida
b) Calcule la potencia promedio del proceso en la salida
Tema 4 (20 puntos) Asuma un proceso estocástico X(t) estacionario en el sentido amplio con función de auto-correlación
R_x(t) = e^{-|\tau |}, \tau \in \Re
a) Determine la densidad espectral de potencia del proceso A(t) = X(t) − X(t−1)
b) Calcule la potencia promedio del proceso A(t)
Tema 3 (20 puntos). Considere el proceso estocástico estacionario en el sentido amplio X(t) con media cero y con auto-correlación
R_x = 50 \cos (20 \pi \tau) + 18 \cos (30 \pi \tau)
a) Determine Var(X(t))
b) Determine la potencia promedio
c) Calcule la densidad espectral de potencia SX(f)
Tema 2 (25 puntos). Dado el proceso o señal descrito por: 
X(t) = cos(ω t + Φ)
donde Φ es una variable aleatoria uniforme en el intervalo (-π, π)
a) Encuentre la auto-covarianza de X(t).
b) Determinar y si el proceso es estacionario o estacionario en el sentido amplio. Justifique su respuesta
c) Determine si la densidad espectral de potencia SX(f)
Tema 1. (25 puntos). Dado el proceso o señal descrito por: 
Y=cos(X)
Suponga que X es una variable aleatoria uniforme, distribuida en el intervalo de (0, 2π].
a) Determine la función densidad de probabilidad para Y
b) Calcule la función de distribución acumulada para Y
c) Grafique su resultado
Tema 4. (35 puntos) Para transmisión de datos se dispone de un enlace con capacidad de 5 MB/s que sirve a dos clases de conexiones, tipo 1 y tipo 2, usando un multiplexor semejante al descrito en el tema anterior. 
Peticiones de conexión tipo 1 llegan acorde a un proceso Poisson con tasa λ1 y ocupan 1Mb del ancho de banda del enlace con un tiempo de uso exponencialmente distribuido con parámetro µ1.
Peticiones conexión tipo 2 llegan acorde a un proceso Poisson con tasa λ2 y ocupan 2Mb del ancho de banda del enlace con un tiempo de uso exponencialmente distribuido con parámetro µ2.
Se requiere un modelo de colas para el comportamiento del sistema cuando λ1 y λ2 y son positivas.
a) Determine el espacio de estados del sistema
b) Dibuje y etiquete el diagrama de estados del sistema
c) Plantee las ecuaciones de estados del sistema
d) Determine la probabilidad de pérdidas de conexiones tipo 1 y tipo 2, y la probabilidad de pérdidas del sistema
e) ¿Cuál probabilidad de pérdidas es más alta? Para conexiones tipo 1 o 2, describa su respuesta
f) Calcule la utilización del enlace por cada tipo
Nota: Para los estados utilice la nomenclatura (tp1, tp2), donde tpi corresponde a la cantidad de atención de enlaces tipo i.
Para el factor de utilización, puede ponderar el ancho de banda con las probabilidades de estado asociado; es decir, cuando los servidores están ocupados, los clientes llegan juntos a una tasa de λ = λ1 + λ2 y el cliente tipo 1 se encuentra con una probabilidad de λ1/λ y de tipo 2 con una probabilidad de λ2/λ
Rúbrica: Literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos).
Referencia: Lakatos, Szeidl, Telek (2013). Introducción a sistemas de colas con telecomunicaciones. Ejercicios 11.1