Publicado en

Distribución Normal estándar acumulada

Referencia: Gubner 5.1 Table 5.1 p 189

Valores de la función de distribución acumulada normal estandar Φ(x) y su complementaria Q(x)= 1- Φ(x). Para evaluar Φ y Q para argumentos negativos, use el hecho que la densidad normal estándar es par, Φ(-x) = Q(x).

Φ(x)=12π∫−∞xe−t2/2dt \Phi(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2 /2} dt Q(x)=1−Φ(x)=12π∫x∞e−t2/2dt Q(x) = 1- \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt
x Φ(x) Q(x) x Φ(x) Q(x)
0.0 0.5000 0.5000 2.0 0.9772 0.0228
0.1 0.5398 0.4602 2.1 0.9821 0.0179
0.2 0.5793 0.4207 2.2 0.9861 0.0139
0.3 0.6179 0.3821 2.3 0.9893 0.0107
0.4 0.6554 0.3446 2.4 0.9918 0.0082
0.5 0.6915 0.3085 2.5 0.9938 0.0062
0.6 0.7257 0.2743 2.6 0.9953 0.0047
0.7 0.7580 0.2420 2.7 0.9965 0.0035
0.8 0.7881 0.2119 2.8 0.9974 0.0026
0.9 0.8159 0.1841 2.9 0.9981 0.0019
1.0 0.8413 0.1587 3.0 0.9987 0.0013
1.1 0.8643 0.1357 3.1 0.9990 0.0010
1.2 0.8849 0.1151 3.2 0.9993 0.0007
1.3 0.9032 0.0968 3.3 0.9995 0.0005
1.4 0.9192 0.0808 3.4 0.9997 0.0003
1.5 0.9332 0.0668 3.5 0.9998 0.0002
1.6 0.9452 0.0548 3.6 0.9998 0.0002
1.7 0.9554 0.0446 3.7 0.9999 0.0001
1.8 0.9641 0.0359 3.8 0.9999 0.0001
1.9 0.9713 0.0287 3.9 1.0000 0.0000
Publicado en

Variables Aleatorias Contínuas

Referencia: León-García 445 Important Continuous Random Variables p164

[uniforme] [Exponencial] [Normal] [Gamma] [Erlang m-1] [Chi-cuadrado] [Lapacian] [Rayleigh] [Cauchy] [Pareto] [Beta]

.

Uniforme

SX=[a,b] S_X = [a,b] fX(x)=1b−a f_X(x) = \frac{1}{b-a} a≤x≤b a\leq x \leq b E[X]=a+b2 E[X] = \frac{a+b}{2} VAR[X]=(b−a)212 VAR[X] = \frac{(b-a)^2}{12} ΦX(ω)=ejωb−ejωajω(b−a) \Phi_X(\omega) = \frac{e^{j\omega b}- e^{j\omega a}}{j\omega(b-a)}

.

Exponencial

SX=[0,∞) S_X = [0, \infty) fX(x)=λe−λc f_X(x) = \lambda e ^{-\lambda c} x≥0 , λ>0 x \geq 0 \text{ , } \lambda > 0 E[X]=1λ E[X] = \frac{1}{\lambda} VAR[X]=1λ2 VAR[X] = \frac{1}{\lambda ^2} ΦX(ω)=λλ−jω \Phi_X(\omega) = \frac{\lambda}{\lambda - j\omega}

Nota: La variable aleatoria exponencial es la única variable aleatoria contínua con propiedad «sin memoria»

.

Normal o Gausiana

SX=(−∞,+∞) S_X = (-\infty, +\infty) fX(x)=e−(x−m)2/2σ22πσ f_X(x) = \frac{e^{-(x-m)^2 /2 \sigma ^2}}{\sqrt{2 \pi}\sigma}

– ∞ < x < + ∞ , σ >0

E[X]=m E[X] = m VAR[X]=σ2 VAR[X] = \sigma ^2 ΦX(ω)=ejmω−σ2ω2/2 \Phi_X(\omega) = e^{jm\omega - \sigma ^2 \omega ^2 /2}

Nota: En un amplio rango de condiciones, X puede ser usada para aproximar la suma de un gran número de variables aleatorias independientes

.

Gamma

SX=(0,∞) S_X = (0, \infty) fX(x)=λ(λx)α−1e−λxΓ(α) f_X(x) = \frac{ \lambda (\lambda x)^{\alpha -1} e^{-\lambda x} } {\Gamma(\alpha)} x>0,α>0,λ>0 x > 0, \alpha >0, \lambda > 0 
donde Γ(z) \Gamma(z)  es la función gamma:
Γ(z)=∫0∞xz−1e−xdx,z>0 \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1}  e^{-x} dx , z>0
Γ(12)=π \Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}
Γ(z+1)=zΓ(z),z>0 \Gamma (z+1) = z \Gamma(z) , z>0 
Γ(m+1)=m!,m>0, y entero \Gamma (m+1) = m!  , m>0 \text{, y entero}
E[x]=αλ E[x] = \frac{\alpha}{\lambda} VAR[X]=αλ2 VAR[X] = \frac{\alpha}{\lambda^2} ΦX(ω)=1(1−jω/λ)α \Phi_X(\omega) =\frac{1}{(1-j\omega /\lambda)^{\alpha}}

Casos especiales de Gamma
.

Erlang m-1

α=m, entero positivo \alpha = m \text{, entero positivo}

fX(x)=λe−λx(λx)m−2(m−1)! f_X(x) = \frac{ \lambda e^{-\lambda x }(\lambda x)^{m - 2} } {(m-1)!}x>0 x>0

ΦX(ω)=(11−jω/λ)m \Phi_X(\omega) = \left( \frac{1}{1-j\omega /\lambda} \right) ^{m}

Nota: Una variable aleatoria Erlang m-1 se obtiene al añadir m variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro λ
.

Chi-cuadrado
con k grados de libertad:

α=k/2, k entero positivo y λ=1/2 \alpha = k/2 \text{, k entero positivo y } \lambda =1/2 fX(x)=x(k−2)/2e−x/22k/2Γ(k/2) f_X(x) = \frac{ x^{(k - 2)/2} e^{-x/2} } {2^{k/2} \Gamma (k/2)} x>0 x>0 ΦX(ω)=(11−2jω)k/2 \Phi_X(\omega) = \left( \frac{1}{1-2j\omega} \right) ^{k/2}

Nota: la suma de k variables aleatorias Gausianas, mutuamente independientes, con varianza unitaria, media cuadrada 0, es una variable aleatoria Chi-cuadrada con k grados de libertad.

.

Lapacian

SX=(−∞,+∞) S_X = (-\infty, +\infty) fX(x)=α2e−α∣x∣ f_X(x) = \frac{\alpha}{2} e^{-\alpha|x|}

– ∞ < x < + ∞ , α >0

E[x]=0 E[x] =0 VAR[X]=2α2 VAR[X] = \frac{2}{\alpha^2} ΦX(ω)=α2ω2+α2 \Phi_X(\omega) = \frac{\alpha^2}{\omega ^2 + \alpha ^2}

.

Rayleigh

SX=[0,∞) S_X = [0, \infty) fX(x)=xα2e−x2/2α2 f_X(x) = \frac{x}{\alpha^2} e^{-x^2/2\alpha^2} x≥0,α>0 x \geq 0 , \alpha>0 E[X]=απ/2 E[X] = \alpha \sqrt{\pi/2} VAR[X]=(2−π/2)α2 VAR[X] =(2- \pi/2) \alpha^2

.

Cauchy

SX=(−∞,+∞) S_X = (-\infty, +\infty) fX(x)=α/πx2+α2 f_X(x) = \frac{\alpha / \pi}{x ^2 + \alpha ^2}

– ∞ < x < + ∞ , α >0

NO existe la media o varianza

ΦX(ω)=e−α∣ω∣ \Phi_X(\omega) = e^{-\alpha|\omega| }

.

Pareto

SX=[Xm,+∞),Xm>0 S_X = [X_m, +\infty) , X_m>0 fX(x)={0x<xmαxmαxα+1x≥xm f_X(x) = \begin{cases} 0 && x< x_m\\ \alpha \frac{x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} && x \geq x_m \end{cases} E[X]=αxmα−1,α>1 E[X] =\frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}, \alpha >1 VAR[X]=αxm2(α−2)(α−1)2,α>2 VAR[X] =\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha - 2)(\alpha-1)^2}, \alpha >2

Nota: La variable aleatoria Pareto es el ejemplo mas destacado de variables aleatorias con colas largas y puede ser vista como una versión contínua de la variable aleatoria discreta Zipf

.

Beta

fX(x)={Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−1,α>0,β>0,0<x<10otro caso f_X(x) = \begin{cases} \frac{\Gamma (\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} && ,\alpha>0 \\, && \beta>0 \\ , && 0 < x < 1 \\ 0 && \text{otro caso} \end{cases} E[X]=αα+β E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta} VAR[X]=αβ(α+β)2(α+β+1) VAR[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}

Nota: La variable aleatoria Beta es util para modelar una variedad de formas de funciones de densidad de probabilidad en intervalos finitos

[uniforme] [Exponencial] [Normal] [Gamma] [Erlang m-1] [Chi-cuadrado] [Lapacian] [Rayleigh] [Cauchy] [Pareto] [Beta]

Publicado en

Variables Aleatorias Discretas

Referencia: León-García 3.5 Important Discrete Random Variables p115

[Bernoulli] [Binomial] [Geométrica] [Binomial Negativa] [Poisson] [Uniforme] [Zipf]

..

Bernoulli

SX={0,1} S_X=\{0, 1 \} p0=q=1−p p_0 = q = 1-p p1=p,0≤p≤1 p_1=p, 0 \leq p \leq 1 E[X]=p E[X] = p VAR[x]=p(1−p) VAR[x] = p(1-p) GX(z)=(q+pz) G_X(z)=(q+pz)

Nota: La variable aleatoria Bernoulli es es valor de la función indicador IA para algún evento; X=1 si ocurre A, y 0 en otro caso

.

Binomial

SX={0,1,...,n} S_X=\{0, 1, ... , n \} pk=(nk)pk(1−p)n−k p_k={n \choose k} p^{k} (1-p)^{n-k} k=0,1,...,n k = 0, 1, ... , n E[X]=np E[X]= np VAR[X]=np(1−p) VAR[X] = np(1-p) GX(z)=(q+pz)n G_X(z)= (q + pz)^{n}

Nota: X es el numero de éxtidos en n intentos Bernoulli y por consiguiente la suma de n iid variables aleatorias Bernoulli.

.

Geométrica

Versión 1:

SX={0,1,2,...} S_X=\{0, 1, 2, ... \} pk=p(1−p)k p_k = p(1-p)^{k} k=0,1,,... k= 0, 1, , ... E[X]=1−pp E[X] =\frac{1-p}{p} VAR[X]=1−pp2 VAR[X] = \frac{1-p}{p^2} GX(z)=p1−qz G_X(z) = \frac{p}{1-qz}

Nota: X es el número de fallas antes del primer éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes. La variable aleatoria geométrica es la única una variable aleatoria con propiedad «sin memoria».

Versión 2:

SX′={1,2,...} S_X'=\{ 1, 2, ... \} pk=p(1−p)k−1 p_k = p(1-p)^{k-1} k=1,2,... k= 1, 2, ... E[X′]=1p E[X'] =\frac{1}{p} VAR[X′]=1−pp2 VAR[X'] = \frac{1-p}{p^2} GX′(z)=pz1−qz G_{X'}(z) = \frac{pz}{1-qz}

Nota: X’= X+1 es el número de intentos hasta primer éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes.

.

Binomial Negativa

SX={r,r+1,...} S_X=\{ r, r+1, ... \}

, donde r es un entero positivo

pk=(k−1r−1)pr(1−p)k−r p_k = {{k-1} \choose {r-1}} p^{r}(1-p)^{k-r} k=r,r+1,... k = r, r+1, ... E[x]=rp E[x] = \frac{r}{p} VAR[X]=r(1−p)p2 VAR[X] = \frac{r(1-p)}{p^2} GX(z)=(pz1−qz)r G_X(z) = \left( \frac{pz}{1-qz}\right)^{r}

Nota: X es el número de intentos hasta el r-ésimo éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes

.

Poisson

SX={0,1,2,...} S_X=\{0, 1, 2, ... \} pk=αkk!e−α p_k = \frac{\alpha ^{k}}{k!} e^{-\alpha} k=0,1,... y α>0 k = 0, 1, ... \text{ y } \alpha>0 E[X]=α E[X] = \alpha VAR[X]=α VAR[X] = \alpha GX(z)=eα(z−1) G_X(z) = e^{\alpha(z-1)}

Nota: X es el número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo cuando el tiempo entre eventos es distribuido exponencialmente con media 1/α.

.

Uniforme

SX={1,2,...,L} S_X=\{1, 2, ..., L \} pk=1L p_k = \frac{1}{L} k=1,2,...,L k = 1, 2, ... , L E[X]=L+12 E[X] = \frac{L+1}{2} VAR[X]=L2−112 VAR[X] = \frac{L^2 -1}{12} GX(z)=zL1−zL1−z G_X(z) = \frac{z}{L} \frac{1- z^L}{1-z}

Nota: La variable aleatoria uniforme sus resultados son igualmente probables. Juega un rol importante en la generación de números aleatorios

.

Zipf

SX={1,2,...,L} S_X=\{1, 2, ..., L \}

, donde L es un entero positivo

pk=1cL1k p_k = \frac{1}{c_L} \frac{1}{k} k=1,2,...,L k = 1, 2, ... , L

donde cL esta dado por:

cL=∑j=1L=1+12+13+...+1L c_L = \sum_{j=1}^{L} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{L} E[X]=LcL E[X] =\frac{L}{c_L} VAR[X]=L(L+1)2CL−L2cL2 VAR[X] = \frac{L(L+1)}{2C_L} - \frac{L^2}{c_L ^2}

Nota: La variable aleatoria Zipf tiene la propiedad que algunos resultados ocurren frecuentemente, pero muchos resultados suceden muy poco

[Bernoulli] [Binomial] [Geométrica] [Binomial Negativa] [Poisson] [Uniforme] [Zipf]

Publicado en

Expansiones de Series

Referencia: Leon W Couch Apéndice p658

Series Finitas

∑n=1Nn=N(N+1)2 \sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2} ∑n=1Nn2=N(N+1)(2N+1)6 \sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} ∑n=1Nn3=N2(N+1)24 \sum_{n=1}^{N} n^3 = \frac{N^2(N+1)^2}{4} ∑n=0Nan=aN+1−1a−1 \sum_{n=0}^{N} a^n = \frac{a^{N+1}-1}{a-1} ∑n=0NN!n!(N−n)!xnyN−n=(x+y)N \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{n!(N-n)!}x^n y^{N-n} = (x+y)^N ∑n=0Nej(θ+nϕ)=sen[(N+1)ϕ2]sen(ϕ2)ej[θ+(Nϕ2)] \sum_{n=0}^{N} e^{j(\theta+n\phi)} = \frac{sen \left[(N+1) \frac{\phi}{2}\right] }{sen \left( \frac{\phi}{2} \right)} e^{j [ \theta + \left( N \frac{\phi}{2} \right) ]}
∑n=0N(Nk)aN−kbk=(a+b)N, \sum_{n=0}^{N} {N \choose k} a^{N-k}b^{k} = (a+b)^N, donde:(Nk)=N!(N−k)!k! donde: {N \choose k} = \frac{N!}{(N-k)!k!}

Series Infinitas

Serie de Taylor

f(x)=∑n=0∞(f(n)(a)n!)(x−a)n f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \right) (x-a)^n

Serie de Fourier

f(x)=∑n=−∞∞cnejnω0x f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{jn\omega_0 x} a≤x≤(a+T) a\leq x \leq (a+T) donde:cn=1T∫aa+Tf(x)e−jnω0xdx donde: c_n = \frac{1}{T} \int_{a}^{a+T} f(x) e^{-jn\omega_0 x} dx ωo=2πT \omega_o = \frac{2\pi}{T}

otras series

ex=∑n=0∞xnn! e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} sen(x)=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)! sen(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} cos(x)=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)! cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}
Publicado en

Tabla de Integrales Definidas

Referencia: Leon W Couch Apéndice p657, 658

Integrales Definidas

Definición

∫f(x)dx=lim⁡Δ→0(∑n[f(nΔx)]Δx) \int f(x) dx = \lim_{\Delta \rightarrow 0} \left( \sum_{n} \left[ f(n \Delta x)\right] \Delta x \right)

Cambio de variable. Sea v=u(x)

∫abf(x)dx=∫u(a)u(b)(f(x)dv/dx∣x=u−1(v))dv \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{u(a)}^{u(b)} \left( \left. \frac{f(x)}{dv/dx} \right|_{x=u^{-1}(v)}\right) dv

integración por partes

∫udv=uv−∫vdu \int u dv = uv - \int v du

Integrales Definidas

∫0∞xm−11+xndx=π/nsen(mπ/n), n>m>0 \int_{0}^{\infty} \frac{x^{m-1}}{1+x^n} dx = \frac{\pi /n}{sen(m\pi/n)}, \text{ }n>m>0
∫0∞xα−1e−xdx=Γ(α),α>0 \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-x} dx = \Gamma(\alpha) , \alpha > 0 donde: Γ(α+1)=αΓ(α), \text{donde: }\Gamma(\alpha +1) = \alpha \Gamma(\alpha), Γ(1)=1, \Gamma (1) = 1, Γ[1/2]=π, \Gamma [1/2] = \sqrt{\pi}, Γ(n)=(n−1)!, si n es entero positivo  \Gamma(n) = (n-1)! \text{, si n es entero positivo }
∫0∞x2ne−ax2dx=1⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n−1)2n+1anπa \int_{0}^{\infty} x^{2n} e^{-ax^2} dx =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdot \cdot (2n-1)}{2^{n+1}a^{n}} \sqrt{\frac{\pi}{a}} ∫−∞∞e−a2x2+bxdx=πaeb2/(4a2),a>0 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2 x^2 + bx} dx =\frac{\sqrt{\pi}}{a} e^{b^2/(4a^2)}, a>0 ∫0∞e−axcos(bx)dx=aa2+b2,a>0 \int_{0}^{\infty} e^{-ax}cos(bx) dx = \frac{a}{a^2+b^2}, a>0 ∫0∞e−axsen(bx)dx=ba2+b2,a>0 \int_{0}^{\infty} e^{-ax}sen(bx) dx = \frac{b}{a^2+b^2}, a>0 ∫0∞e−a2x2cos(bx)dx=πe−b2/4a22a,a>0 \int_{0}^{\infty} e^{-a^2x^2}cos(bx) dx = \frac{\sqrt{\pi} e^{-b^2/4a^2}}{2a}, a>0
∫0∞xα−1cos(bx)dx= \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}cos(bx) dx = Γ(α)bαcos(12πα),\frac{\Gamma(\alpha)}{b^{\alpha}} cos \left(\frac{1}{2}\pi \alpha \right), 0<α<1,b>0 0<\alpha < 1, b >0
∫0∞xα−1sen(bx)dx=Γ(α)bαsen(12πα), \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}sen(bx) dx = \frac{\Gamma(\alpha)}{b^{\alpha}} sen \left(\frac{1}{2}\pi \alpha \right), 0<∣α∣<1,b>0 0<|\alpha| < 1, b >0
∫0∞xe−ax2Ik(bx)dx=12aeb2/4a, \int_{0}^{\infty} x e^{-ax^2} I_k(bx) dx = \frac{1}{2a} e^{b^2/4a}, donde: Ik(bx)=1π∫0πebxcos(θ)cos(kθ)dθ \text{donde: } I_k(bx)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} e^{bx cos(\theta)} cos(k\theta) d\theta
∫0∞sen(x)xdx=∫0∞Sa(x)dx=π2 \int_{0}^{\infty} \frac{sen(x)}{x} dx = \int_{0}^{\infty} Sa(x) dx = \frac{\pi}{2} ∫0∞(sen(x)x)2dx=∫0∞Sa2(x)dx=π2 \int_{0}^{\infty} \left( \frac{sen(x)}{x} \right)^2 dx = \int_{0}^{\infty} Sa^2(x) dx = \frac{\pi}{2} ∫−∞∞e±j2πyxdx=δ(y) \int_{-\infty}^{\infty} e^{\pm j2 \pi yx} dx = \delta (y) ∫0∞cos(ax)b2+x2dx=π2be−ab,a>0,b>0 \int_{0}^{\infty}\frac{cos(ax)}{b^2 + x^2}dx = \frac{\pi}{2b} e^{-ab}, a>0,b>0 ∫0∞xsen(ax)b2+x2dx=π2e−ab,a>0,b>0 \int_{0}^{\infty}\frac{x sen(ax)}{b^2 + x^2}dx = \frac{\pi}{2} e^{-ab}, a>0,b>0
Publicado en

Tabla de Integrales Indefinidas

Referencia: Leon W Couch Apéndice p656

Integrales Indefinidas

∫(a+bx)ndx=(a+bx)n+1b(n+1),0<n \int (a+bx)^n dx = \frac{(a+bx)^{n+1}} {b(n+1)}, 0<n ∫dxa+bx=1bln∣a+bx∣ \int \frac{dx}{a+bx} =\frac{1}{b} ln|a+bx| ∫dx(a+bx)n=−1(n−1)b(a+bx)n−1,1<n \int \frac{dx}{(a+bx)^n} = \frac{-1}{(n-1)b(a+bx)^{n-1}} , 1<n
∫dx(c+bc+ax2)n= \int \frac{dx}{(c+bc+ax^2)^n} = ={24ac−b2tan−1(2ax+b4ac−b2),b2<4ac1b2−4acln∣2ax+b−b2−4ac2ax+b+b2−4ac∣,b2>4ac−22ax+b,b2=4ac= \begin{cases} \frac{2}{ \sqrt{4ac-b^2}} tan^{-1}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right) , & b^{2} < 4ac \\ \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}ln\left| \frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}} \right| , & b^{2} > 4ac \\ \frac{-2}{\sqrt{2ax+b}} , & b^{2}=4ac \end{cases}
∫xdxc+bx+ax2= \int \frac{x dx}{c+bx+ax^2} = =12aln∣ax2+bx+c∣−b2a∫dxc+bx+ax2 = \frac{1}{2a} ln\left| ax^2+bx+c \right| - \frac{b}{2a}\int \frac{dx}{c+bx+ax^2}
∫dxa2+b2x2=1abtan−1(bxa) \int \frac{dx}{a^2+b^2x^2} = \frac{1}{ab} tan^{-1}\left( \frac{bx}{a} \right) ∫xdxa2+x2=12ln(a2+x2) \int \frac{x dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{2} ln( a^2+x^2 )

Trigonométricas

∫cos(x)dx=sen(x) \int cos(x) dx = sen(x) ∫sen(x)dx=−cos(x) \int sen(x) dx = -cos(x) ∫xcos(x)dx=cos(x)+xsen(x) \int x cos(x) dx = cos(x) + x sen(x) ∫xsen(x)dx=sen(x)−xcos(x) \int x sen(x) dx = sen(x) - x cos(x) ∫x2cos(x)dx=2xcos(x)+(x2−2)sen(x) \int x^2 cos(x) dx = 2x cos(x) + (x^2 -2) sen(x) ∫x2sen(x)dx=2xsen(x)−(x2−2)cos(x) \int x^2 sen(x) dx = 2x sen(x) - (x^2 -2) cos(x)

Exponenciales

∫eaxdx=eaxa \int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} ∫xeaxdx=eax(xa−1a2) \int x e^{ax} dx = e^{ax} \left( \frac{x}{a} - \frac{1}{a^2} \right) ∫x2eaxdx=eax(x2a−2xa2+2a3) \int x^2 e^{ax} dx = e^{ax} \left( \frac{x^2}{a} - \frac{2x}{a^2} + \frac{2}{a^3} \right) ∫x3eaxdx=eax(x3a−3x2a2+6xa3−6a4) \int x^3 e^{ax} dx = e^{ax} \left( \frac{x^3}{a} - \frac{3x^2}{a^2} + \frac{6x}{a^3} - \frac{6}{a^4}\right) ∫eaxsen(x)dx=eaxa2+1(asen(x)−cos(x)) \int e^{ax} sen(x) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 +1} (a sen(x) - cos(x)) ∫eaxcos(x)dx=eaxa2+1(acos(x)−sen(x)) \int e^{ax} cos(x) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 +1} (a cos(x) - sen(x))
Publicado en

Tabla de Números Complejos

Referencia: Leon W Couch Apéndice p653

Definiciones

sen(x)=ejx−e−jx2j sen(x) = \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j} cos(x)=ejx+e−jx2 cos(x) = \frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2} tan(x)=sen(x)cos(x)=ejx−e−jxj(ejx+e−jx) tan(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}= \frac{e^{jx}-e^{-jx}}{j(e^{jx}+e^{-jx})}

Teorema de Euler

e±jx=cos(x)±jsen(x) e^{\pm jx} = cos(x) \pm j sen(x)

Complejos

e±jπ/2=±j e^{\pm j\pi /2} = \pm j e±jnπ={1, n par−1, n impar e^{\pm jn\pi} = \begin {cases} 1 \text{, n par} \\ -1 \text{, n impar}\end{cases}

forma rectangular

x+jy=Rejθ x + jy = Re^{j\theta} R=x2+y2 R = \sqrt{ x^2 + y^2} θ=tab−1(yx) \theta = tab^{-1}\left( \frac{y}{x} \right)

a una potencia

(Rejθ)y=Ryejyθ \left( R e^{j\theta} \right)^y = R^y e^{jy\theta} (R1ejθ1)(R2ejθ2)=R1R2j(θ1+θ2) \left( R_1 e^{j\theta_1} \right) \left( R_2 e^{j\theta_2} \right) = R_1 R_2 ^{j(\theta_1+\theta_2)}
Publicado en

Tablas trigonométricas

Referencia: Leon W Couch Apéndice p653

cos(x±y)=cos(x)cos(y)∓sen(x)sen(y) cos(x \pm y)= cos(x)cos(y) \mp sen(x)sen(y) sen(x±y)=sen(x)cos(y)±cos(x)sen(y) sen(x \pm y) = sen(x)cos(y) \pm cos(x) sen(y) cos(x±π2)=∓sen(x) cos\left( x \pm \frac{\pi}{2}\right) = \mp sen(x) sen(x±π2)=±cos(x) sen\left( x \pm \frac{\pi}{2}\right) = \pm cos(x) cos(2x)=cos2(x)−sen2(x) cos(2x)= cos^2 (x)- sen^2(x) sen(2x)=2sen(x)cos(x) sen(2x)= 2sen(x)cos(x) 2cos(x)cos(y)=cos(x−y)+cos(x+y) 2 cos(x)cos(y) = cos(x-y) + cos(x+y) 2sen(x)sen(y)=cos(x−y)−cos(x+y) 2 sen(x)sen(y) = cos(x-y) - cos(x+y) 2sen(x)cos(y)=sen(x−y)+sen(x+y) 2 sen(x)cos(y) = sen(x-y) + sen(x+y) 2cos2(x)=1+cos(2x) 2 cos^2(x) = 1 + cos(2x) 2sen2(x)=1−cos(2x) 2 sen^2(x) = 1 - cos(2x) 4cos3(x)=3cos(x)+cos(3x) 4 cos^3(x) = 3cos(x) + cos(3x) 4sen3(x)=3sen(x)+sen(3x) 4 sen^3(x) = 3sen(x) + sen(3x) 8cos4(x)=3+4cos(2x)+cos(4x) 8 cos^4(x) = 3 + 4cos(2x) + cos(4x) 8sen4(x)=3−4cos(2x)+cos(4x) 8 sen^4(x) = 3 - 4cos(2x) + cos(4x)

con magnitud R y fase Θ

Rcos(x+θ)=Acos(x)−Bsen(x) R cos(x + \theta) = A cos(x) - B sen(x)

donde

R=A2+B2 R = \sqrt{A^2+B^2} θ=tan−1(BA) \theta = tan^{-1}(\frac{B}{A}) A=Rcos(θ) A = R cos(\theta) B=Rsen(θ) B = R sen(\theta)
Publicado en

Tabla de derivadas

Referencia: Leon W Couch Apéndice p656

Tabla de Derivadas

Definición

ddx[f(x)]=lim⁡Δx→ 0f(x+Δx2)−f(x−Δx2)Δx \frac{d}{dx}[ f(x) ]= \lim_{\Delta x \rightarrow\ 0} \frac{f \big( x+\frac{\Delta x}{2} \big)- f\big( x-\frac{\Delta x}{2}\big) }{\Delta x}

Regla del producto

ddx[u(x)v(x)]=u(x)dv(x)dx+v(x)du(x)dx \frac{d}{dx}[u(x) v(x)]= u(x)\frac{dv(x)}{dx} + v(x)\frac{du(x)}{dx}

Regla del cociente

ddx[u(x)v(x)]=1v2(x)[v(x)du(x)dx−u(x)dv(x)dx] \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{1}{v^2(x)} \left[ v(x)\frac{du(x)}{dx}- u(x)\frac{dv(x)}{dx}\right]

Regla de la cadena

ddxu[v(x)]=dudvdvdx \frac{d}{dx}u[v(x)]= \frac{du}{dv}\frac{dv}{dx}

Potenciación

ddx[xn]=nxn−1 \frac{d}{dx}[ x^n ]= nx^{n-1}

Exponenciales

ddx[eax]=aeax \frac{d}{dx} [ e ^{ax} ] = a e^{ax} ddx[ax]=axln(a) \frac{d}{dx} [ a ^{x} ]= a^x ln(a)

Logaritmicas

ddx[ln(x)]=1x \frac{d}{dx} [ ln(x) ] = \frac{1}{x} ddx[loga(x)]=1xlogae \frac{d}{dx}[ log_a (x) ] = \frac{1}{x} log_a e

Trigonométricas

ddx[sen(ax)]=a cos(ax) \frac{d}{dx}[sen(ax)]= a\text{ } cos(ax) ddx[cos(ax)]=−a sen(ax) \frac{d}{dx}[cos(ax)]= -a\text{ }sen(ax) ddx[tan(ax)]=acos2(ax) \frac{d}{dx}[tan(ax)]= \frac{a} {cos^2(ax)} ddx[sen−1(ax)]=a1−(ax)2 \frac{d}{dx}[sen^{-1}(ax)]= \frac{a} {\sqrt{1-(ax)^2}} ddx[cos−1(ax)]=−a1−(ax)2 \frac{d}{dx}[cos^{-1}(ax)]= \frac{-a} {\sqrt{1-(ax)^2}} ddx[tan−1(ax)]=a1+(ax)2 \frac{d}{dx}[tan^{-1}(ax)]= \frac{a} {{1+(ax)^2}}

Regla de Leibniz

ddx[∫a(x)b(x)f(λ,x)dλ]= \frac{d}{dx}\left[ \int_{a(x)}^{b(x)} f(\lambda,x) d\lambda \right] =
=f(b(x),x)ddx[b(x)]−f(a(x),x)ddx[a(x)]+ = f(b(x),x) \frac{d}{dx}[b(x)] - f(a(x),x) \frac{d}{dx}[a(x)] +
+∫a(x)b(x)ddx[f(λ,x)dλ + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{d}{dx}[f(\lambda , x) d\lambda