Distribuciones conjuntas de muestras en el tiempo
Sean [X1, X2, … , Xk ] las k variables aleatorias obtenidas del muestreo de un proceso X(t,ω) en los tiempos: [t1, t2, … , tk] se describen como:
X1 = X(t1,ω),
X2 = X(t2,ω),
… ,
Xk = X(tk,ω),
mostrada en la figura:
El comportamiento conjunto del proceso aleatorio a estos k instantes de tiempo se da por la distribución acumulada conjunta del vector de las variables aleatorias :
X1, X2, … , Xk
Las probabilidades de cualquiera de los eventos del proceso aleatorio para todos o solo algunos de los instantes de tiempo, se pueden calcular por medio de la distribucion acumulada (cdf) con los metodos para vectores de variables aleatorias.
Por lo que un proceso aleatorio o estocástico se especifica por la colección de k-ésimo orden de las funciones de distribución acumuladas conjuntas :
F_{x_1, ... , x_k}(x_1, x_2, ... , x_k)=P[X_1 ≤ x_1, X_2 ≤ x_2, ... , X_k≤ x_k]
para cualquier k y cualquier selección de instantes de tiempo t1, t2, … , tk.
Si el proceso estocástico es de valores contínuos, entonces las funciones de densidad de probabilidad a usar serán:
f_{x_1, ... , x_k}(x_1, x_2, ... , x_k) dx_1 ... dx_n =
P[x_1 < X_1 ≤ x_1+dx_1, x_2 < X_2 ≤ x_2+dx_2, ... , x_k < X_k ≤ x_k+dx_1]
Si el proceso estocastico es de tipo discreto, entonces la colección de funciones de probabilidad de masa para especificar el proceso estocastico será:
p_{x_1, ... , x_k}(x_1, x_2, ... , x_k) =
P[ X(t_1) = x_1, X(t_2) = x_2, ... , X(t_k) = x_k ]
Ejemplo: Variable aleatoria Bernoulli iid
Referencia: León García E9.5 pdf/p.492
Sea Xn una secuencia de una variable aleatoria independiente e identicamente distribuida(i.i.d), tipo Bernoulli con p=1/2.
La pmf conjunta para cualquier k muestras de tiempo es entonces:
P[ X1 = x1, X2 = x2, … , Xk = xk ] =
= P[ X1 = x1] P[X2 = x2], … , P[Xk = xk ]
= (1/2)k
donde xi ∈ {0,1] para todo i.
Ejemplo: Variable aleatoria Gausiana iid
Referencia: León García E9.6 pdf/p.493
Sea Xn una secuencia de una variable aleatoria independiente e identicamente distribuida (i.i.d.), tipo Gausiana con media μ=0 y varianza σ2x. La función de densidad de probabilidad (pdf) conjunta para cualquier muestra de tiempo k es entonces:
f_{x_1,x2, ...,x_k}(x_1,x2, ...,x_k)=
= \frac{1}{(2\pi \sigma^2)^{k/2}}e^{-(x_1^2+x_2^2+ ... + x_k^2)/2\sigma^2}
Ejemplo: Proceso Binomial de conteo
Referencia: León García E9.7 pdf/p.493
Sea Xn una secuencia de una variable aleatoria independiente e identicamente distribuida, tipo Bernoulli con p=1/2. Sea Sn el número de 1’s en los primeros n intentos:
Sn = X1 + X2 + … + Xn para n=0,1,…
Sn es una función de n valores enteros crecientes que aumenta en valores unitarios siguiendo intervalos de tiempo aleatorios.
Instrucciones en Python
para Distribuciones conjuntas de muestras en el tiempo
# Realizaciones de un proceso aleatorio
# León-García Fig 9.1
# propuesta: edelros@espol.edu.ec
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats
# INGRESO
n = 50 # muestras
A = 10 # amplitud
k = 10 # una muestra k<n
# PROCEDIMIENTO
t = np.arange(0,n,1)
# genera variables aleatorias continuas uniformes
x1 = stats.uniform.rvs(loc=-A, scale=2*A ,size=n)
x2 = stats.uniform.rvs(loc=-A, scale=2*A ,size=n)
x3 = stats.uniform.rvs(loc=-A, scale=2*A ,size=n)
# SALIDA
print('t = ',k)
print('x1['+str(k)+']: ', x1[k])
print('x2['+str(k)+']: ', x2[k])
print('x3['+str(k)+']: ', x3[k])
# GRAFICAS
plt.suptitle('Realizaciones')
# grafica X1
plt.subplot(311)
plt.plot(t,x1)
plt.axvline(10)
plt.ylabel('x1')
plt.margins(0.05)
# grafica X2
plt.subplot(312)
plt.plot(t,x2)
plt.axvline(10)
plt.ylabel('x2')
plt.margins(0.05)
# grafica X3
plt.subplot(313)
plt.plot(t,x3)
plt.axvline(10)
plt.ylabel('x3')
plt.margins(0.05)
plt.show()
Referencia: León-García 9.1 pdf/p.492
