Correlación

Referencia: León-García 5.6.2 p258, Gubner 2.4 p91

Correlación

La correlación entre dos variables aleatorias X y Y se define como E[XY].

La correlación determina cuando dos variables se encuentran linealmente relacionadas; es decir cuando una es función lineal de la otra.

$R(X,Y) = E[XY]$

Propiedades de la función de correlación

Simetría

$R(X,Y) = R[Y,X]$ $R(X,X) = E[X^2] \geq 0$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

$|R(X,Y)| = \sqrt{(E[X]^2 E[Y]^2)}$

Covarianza

Retomando la función de covarianza de un proceso estocástico se muestra que:

$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] =$ $= R(X,Y) - E[X]E[Y]$

Coeficiente de correlación lineal

Al multiplicar una de las variables X o Y por un número se incrementa la covarianza, para una mejor medida se normaliza la covarianza y así tener los valores en una escala absoluta.

El coeficiente de correlación de X y Y se define por:

$\rho_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{E[XY]-E[X]E[Y]}{\sigma_X \sigma_Y}$ $donde: \sigma_X=\sqrt{Var(X)}$ $\sigma_Y=\sqrt{Var(Y)}$ $-1 \leq \rho_{X,Y} \leq 1$

El coeficiente de correlación es como máximo en magnitud 1.

Note que la correlación y el coeficiente de correlación no son lo mismo al resultar de la formula de covarianza.