correlacion suma de procesos

Referencia: Problema León García 10.6 p.636

Sea Z(t) = X(t) + Y(t)

¿Bajo qué condiciones S_Z(f) = S_X(f) + S_Y(f)?

Solución Propuesta:

E[ Z(t)Z(t+τ) ] = E[ [X(t) + Y(t)][X(t+τ) + Y(t+τ)] ]

= E[ X(t)X(t+τ) + Y(t) X(t+τ) + X(t)Y(t+τ) + Y(t)Y(t+τ) ]

= E[  X(t)X(t+τ) ] +E[ Y(t) X(t+τ) ] + E[ X(t)Y(t+τ) ] + E[ Y(t)Y(t+τ) ]

R_Z(τ) = R_X(τ) + R_YX(τ)  + R_XY(τ)  + R_Y(τ)

S_Z(f) = S_X(f) + S_YX(f)  + S_XY(f)  + S_Y(f)

Si X(t) y Y(t) son ortogonales, entonces:

R_XY(τ)  = R_YX(τ) = 0

S_Z(f) = S_X(f) + 0  + 0  + S_Y(f)

S_Z(f) = S_X(f) +  S_Y(f)