Covarianza bivariada Ejemplo Ross 2_33

Referencia: Ejemplo Ross 2.33 p51

La función densidad conjunta de X,Y es

f(x,y) = \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)}

donde: 0<x , y<\infty

los intervalos también se expresan como: 0<x<∞ , 0<y<∞

a) Verifique que es una función de densidad conjunta

b) Encuentre la Cov(X,Y)

Solución propuesa

Para mostrar que f(x,y) es una función de densidad conjunta se debe mostar que es no negativa y que la integral doble es 1.

\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y) dy dx =

= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} dy dx =

= \int_{0}^{\infty} e^{-y} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-x/y} dx dy

Resolviendo parcialmente el integral

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-x/y} dx = \frac{1}{y} \int_{0}^{\infty} e^{-x/y} dx =

= \frac{1}{y} \left. \frac{e^{-x/y}}{-\frac{1}{y}}\right|_{0}^{\infty} = -[e^{-\infty /y} - e^{0} ] = -(0-1) = 1

con el resultado se continua con el integral anterior:

= \int_{0}^{\infty} e^{-y} dy = \left. \frac{e^{-y}}{-1} \right|_{0}^{\infty}

= - (e^{-\infty} - e^{0}) =

= -(0-1) = 1

con lo que se comprueba que es una función densidad de probabilidad conjunta.

Se obtendrán primero las funciones marginales para determinar el valor esperado de cada una de ellas:

f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} dx =

= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y} e^{-y} e^{-x/y} dx = e^{-y} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{y}e^{-x/y} dx = e^{-y}

usando parte del integral anterior, se conoce que es igual a 1

se requiere el valor esperado E[y]:

E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y f(y) dy = \int_{0}^{\infty} y e^{-y} dy =

integración por partes $dv=e^{-y}dy$ , $v = - e^{-y}$ , u=y, du=dy

\int u dv = uv - \int v du

E[Y] = \left. - ye^{-y} \right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-y}) dy

= -(\infty e^{-\infty} - 0 e^{-0}) - \left. e^{-y} \right|_{0}^{\infty} =

= 0 -[e^{-\infty}- e^{0}] = -[0 -1]

E[Y] =1

El valor esperado E[x] se obtiene como:

E[x] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x f(x,y) dy dx =

= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} dy dx =

= \int_{0}^{\infty} e^{-y} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{y} e^{-x/y} dx dy =

para el integral respecto a x:

\int_{0}^{\infty} \frac{x}{y} e^{-x/y} dx =

integración por partes $dv=\frac{1}{y}e^{-x/y} dx$ , $v = \frac{\frac{1}{y}}{-(1/y)} e^{-x/y}$ , u=x, du=dx

\int u dv = uv - \int v du =

= \left. x(-e^{-x/y})\right|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{-x/y} dx =

= [- \infty ye^{-\infty/y} - (-0e^{0/y})] + \int_{0}^{\infty} e^{-x/y} dx =

= [-0+0] + \left. \frac{e^{-x/y}}{-(1/y)}\right|_{0}^{\infty} =

=-y[e^{-\infty/y} - e^{-0/y}] = y

reemplazando en E[x] y usando el resultado del integral de E[y]:

E[x] = \int_{0}^{\infty} y e^{-y} dy = 1

Para calcular el valor de E[XY]:

E[XY] =

=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f(x,y) dy dx =

=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} xy \frac{1}{y} e^{-(y+x/y)} dy dx =

= \int_{0}^{\infty} y e^{-y} \int_{0}^{\infty} \frac{x}{y} e^{-x/y} dx dy =

= \int_{0}^{\infty} y e^{-y} (y) dy = \int_{0}^{\infty} y^2 e^{-y} dy =

nuevamente por partes: $dv = e^{-y} dy, u=y^2$ se obtiene

E[XY] = \int_{0}^{\infty} y^2e^{-y} dy =

=\left. -y^2 e^{-y} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} 2ye^{-y}dy = 2E[Y] =2

En consecuencia:

Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 2-(1)(1) = 1