Referencia: Ross 8.17 p.571
Los clientes llegan a una sucursal de dos servidores según a un proceso de Poisson con tasa de dos por hora.
Si al llegar el cliente el servidor 1 esta libre, se atiende con éste.
Si al llegar el cliente el servidor 1 esta ocupado y el servidor 2 esta libre, inicia con el servidor 2.
Clientes que al llegar encuentran los dos servidores ocupados se retiran.
Un cliente que fué atendido por el servidor 1, pasa a ser atendido por el servidor 2 siempre que esté libre, caso contrario sale de la sucursal.
Un cliente al completar el servicio con el servidor 2 sale de la sucursal.
Los tiempos de servicio en los servidores 1 y 2 son variables aleatorias exponenciales con tasas de cuatro y seis por hora.
a) ¿Qué fracción de clientes no entran a la sucursal?
b) ¿Cuál es el valor promedio de tiempo que un cliente que entra, permanece en el sistema?
c) ¿Cuál fracción de los clientes que entraron son atendidos por el servidor 1?
Solución:
Se definen los estados como (servidor1,servidor2), ocupado=0, ocupado=1:
Estado (0,0) Estado (0,1) Estado (1,0) Estado (1,0)
con lo que se contruye el diagrama de estados y transiciones:
Usando los valores del enunciado se ubican los valores para las tasas de llegada y atención
El siguiente paso consiste en escribir son las ecuaciones de balanceo:
λ P00 = μ2 P01 (μ2 + λ) P01 = μ1 P10 + μ1 P11 (μ1 + λ) P10 = λ P00 + μ2 P11 (μ2 + μ1) P11 = λ P01 + λ P10 1 = P00 + P01 + P10 + P11
usando los valores para λ, μ1 y μ2:
2 P00 = 6 P01 8 P01 = 4 P10 + 4 P11 6 P10 = 2 P00 + 6 P11 10 P11 = 2 P01 + 2 P10 1 = P00 + P01 + P10 + P11
de la ecuación(1)
P01 = (2/6) P00 = (1/3) P00 P01 = (1/3) P00 usando (2) (1/4) y reordenando 2 P01 = P10 + P11 P11 = 2 P01 - P10 sumando con (4) P11 = 2 P01 - P10 5 P11 = P01 + P10 6 P11 = 3 P01 2 P11 = P01 usando (1) 2 P11 = (1/3) P00 P11 = (1/6) P00 usando (4) 5 P11 = P01 + P10 5 (1/6) P00 = (1/3) P00 + P10 P10 = [(5/6) - (1/3)]P00 = [(5-2)/6] P00 = (3/6) P00 = (1/2) P00 P10 = (1/2) P00 usando (5) con los resultados dependientes de P00: 1 = P00 + (1/3) P00 +(1/2) P00 + (1/6) P00 1 = [(6+2+3+1)/6] P00 = [12/6] P00 = 2 P00 P00 = 1/2 quedando: P00 = 1/2 P01 = 1/6 P10 = 1/4 P11 = 1/12
usando numpy de python, se reorganiza las ecuaciones y se crean las matrices:
2 P00 - 6 P01 = 0
8 P01 - 4 P10 - 4 P11 = 0
2 P00 - 6 P10 + 6 P11 = 0
2 P01 + 2 P10 - 10 P11 = 0
P00 + P01 + P10 + P11 = 1
import numpy as np
A=np.array([
[2,-6,0,0],
[0,8,-4,-4],
[2,0,-6,6],
[1,1,1,1]])
B=np.array([0,0,0,1])
P=np.linalg.solve(A,B)
print(P)
[ 0.5 0.16666667 0.25 0.08333333]
que son los resultados anteriores encontrados:
P00 = 0.5 P01 = 0.16666667 P10 = 0.25 P11 = 0.08333333
a) ¿Qué fracción de clientes no entran a la suscursal?
solo ocurre cuando ambos servidores estan ocupados (1,1)
P11 = 1/12 = 0.08333333
b) ¿Cuál es el valor promedio de tiempo que un cliente que entra, permanece en el sistema?
W = L/λ = (valor esperado)/(proporcion de los clientes que si entran) = [0*P00 + 1*P01 + 1*P10 + 2*P11]/ [λ(1-P11)] = [0*(1/2) + 1*(1/6) + 1*(1/4) + 2*(1/12)]/ [2(1-(1/12)] = [(0+3+2+2)/12]/[22/12] = (7/12)/(22/12) = 7/22
c) ¿Cuál fracción de los clientes que entraron son atendidos por el servidor 1?
(atiende el servidor 1 cuando esta libre) / (los que entraron) [P00 + P01] / [1 - P11] = [1/2 + 1/6]/[1 - 1/12] = [(3+1)/6] / [11/12] = (4/6)/(11/12) = 8/11