Metodo de la Transformada

Referencia: Gubner 4.3 p159, León García 7.6.2 p 398

Los metodos de transformadas son muy útiles para cálculos que involucran derivadas e integrales de funciones. Muchos problemas involucran el uso de la «convolución» de dos funciones f₁(x) * f₂(x), cuyo cálculo se facilita si se tabaja con un método de transformadas.

Usar por ejemplo la transformada de Fourier, al cambiar de dominio convierte la convolución de funciones en una multiplicación, al resultado se le realiza la antitransformada y se obtiene el resultado buscado.

Función característica

Sea X una variable aleatoria contínua con función densidad de probabilidad f(x), entonces:

\Phi_{X} (\omega) = E\left[ e^{j \omega X} \right] = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) e^{j\omega x} dx \text{donde } j=\sqrt{-1}

lo que también es la transformada de Fourier de f, la fórmula para invertir la transformada es:

f_{X}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi_{X}(\omega) e^{-j\omega x} d\omega

Es una transformación de la función desde el dominio del tiempo (t) al dominio de la frecuencia (ω).

Nota: En los libros de sistemas y señales, se define la transformada de Fourier de f por \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega x} dx . Para ser mas preciso, se debería decir φ_X(v) es la transformada de Fourier evaluada en -v.

Convolutions | Why X+Y in probability is a beautiful mess. 3Blue1Brown. 27 junio 2023.