Referencia: León-García 5.17 p 253
Ejemplo
Encuentre P[ X + Y ≤ 1] de la funcion en el ejemplo 5.16 mostrada a continuación :
f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} c e^{-x} e^{-y} & , 0\leq y \leq x < \infty \\ 0 & ,\text{otro caso} \end{cases}Solución
La la región para integración es [ X + Y ≤ 1] donde la pdf no es cero. Se obtine la probabilidad del evento al añadir(integrar) rectángulos infinitesimales de ancho dy como se indica en la figura:
X + Y \leq 1 Y \leq 1 - X P[ X + Y \leq 1] = \int_{0}^{1/2} \int_{y}^{1-y} 2 e^{-x} e^{-y} dx dy = \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} \int_{y}^{1-y} e^{-x} dx dy = \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} \left. [-e^{-x}] \right|_{y}^{1-y} dy = = \int_{0}^{1/2} 2 e^{-y} [-e^{-(1-y)}-(-e^{-y})] dy = \int_{0}^{1/2} [2 e^{-2y}- 2 e^{-y-(1-y)}] dy = = \int_{0}^{1/2} [2 e^{-2y}- 2 e^{-1}] dy = \left. \left[ 2\frac{e^{-2y}}{-2} - 2 e^{-1}y\right] \right|t_{0}^{1/2} = = [ - e^{-2 (1/2)} - 2 e^{-1} (1/2) ] - [ -e^{0}-0] = -e^{-1}-e^{-1} +1 P[ X + Y \leq 1] = 1- 2e^{-1} = 0.26424111765711533que limita la figura que genera la función a:
Instrucciones en Python
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Función evaluada def fxydensidad(X,Y): n,m = np.shape(X) Z = np.zeros(shape=(n,m),dtype=float) c = 2 for i in range(0,n,1): for j in range(0,m,1): x = X[i,j] y = Y[i,j] if (y>=0 and y<=x and (x + y)<=1): z = c*np.exp(-x)*np.exp(y) Z[i,j] = z return(Z) # PROGRAMA # INGRESO # Rango de evaluación xa = 0 xb = 1.5 ya = 0 yb = 1.5 #muestras por eje nx = 200 ny = 200 # PROCEDIMIENTO # Matriz de evaluación y = np.linspace(ya,yb,ny) x = np.linspace(xa,xb,nx) X,Y = np.meshgrid(x,y) # Evalua la función Z = fxydensidad(X,Y) # Zona de integración def arealimite(X): n = len(X) yinferior = np.zeros(n,dtype=float) ysuperior = np.zeros(n,dtype=float) for i in range(0,n,1): x = X[i] if (x<0.5): y = x if (x>=0.5): y = 1 - x ysuperior[i] = y return(yinferior, ysuperior) # PROCEDIMIENTO yinferior , ysuperior = arealimite(x) # SALIDA GRAFICAS figura1 = plt.figure(1) plt.plot(x,yinferior) plt.plot(x,ysuperior) plt.fill_between(x, yinferior, ysuperior, where= (ysuperior>=yinferior)) plt.xlabel('x')
# SALIDA figura2 = plt.figure(2) grafica2 = figura2.add_subplot(1, 1, 1, projection='3d') grafica2.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10) plt.show()