Probabilidades conjuntas y marginales discretas

Referencia: Gubner 7.1 p 287, León García 5.2 p234, Ross 2.5 p44

Probabilidades conjuntas y marginales

  • Un canal telefónico con una señal X presenta un ruido aditivo Y: X+Y
  • En un canal inalámbrico la señal X es afectada por un desvanecimiento o ruido multiplicativo: XY
  • Si X y Y son las tasas de tráfico de dos routers en un proveedor de Internet, se busca mantener la tasas en valores menores a la capacidad del router : max(X,Y)≤μ
  • Sean X y Y los voltajes de un sensor, y se quiere activar una alarma si al menos uno de los voltajes cae por debajo del umbral v: min(X,Y)≤v

Pares de variables aleatorias discretas

Ejemplo:

León-García 5.5. Un switch de datos, tiene dos puertos de entrada y dos puertos de salida. En cualquier instante de tiempo, un paquete llega a cada puerto con probabilidad de 1/2, lo que es equitativamente probable que sea enviado por el puerto 1 o 2.

Sea X y Y los números de paquetes destinados para salir por los puertos 1 y 2, respectivamente. Encuentre la pmf de X y Y, mostrando la pmf de forma gráfica.

Solución: La salida Ij para una un puerto de entrada j, puede tomar los siguientes valores:

    • «n», que no llegue un paquete al puerto de entrada. probabilidad de 1/2
    • «a1», llega un paquete con destino de salida puerto 1. con probabilidad de 1/4
    • «a2». llega un paquete con destino de salida puerto 2. con probabilidad de 1/4

El espacio muestral S relacionado, consiste de los resultados en pareja de entrada ζ =(I1, I2), El mapeo para cada (X,Y) se muestra en la tabla siguiente:

ζ X,Y
(n,n) (0,0)
(n,a1) (1,0)
(n,a2) (0,1)
(a1,n) (1,0)
(a1,a1) (2,0)
(a2,a2) (1,1)
(a2,n) (0,1)
(a2,a1) (1,1)
(a2,a2) (0,2)

la pmf de (X,Y) es entonces:
pX,Y (0,0) = P[ζ = (n,n)] = 1/2*1/2 = 1/4
pX,Y (0,1) = P[ζ ∈ {(n,a2), (a2,n)}] = 2*1/8 = 1/4

las gráficas de las cdf son: