Proceso aleatorio estacionario

Referencia: León-García 9.6, 9.6.1 p518,521; Gubner 10.3, 10.2 p395, p392; Ross 10.7 p654, p656

Estacionario

Un proceso aleatorio discreto o contínuo en el tiempo 
X(t) es estacionario si la distribución conjunta de 
cualquier grupo de muestras No depende de la ubicación 
del tiempo de origen.

F_{X(t_1),..., X(t_k)} (x_1, ... x_k) = F_{X(t_1+\tau),..., X(t_k)} (x_1, ... x_k+\tau)

para cualquier τ, k, o muestras t₁, … , t_k.

Estacionario con cdf de 1er Orden

Un proceso aleatorio estacionario con cdf de primer orden debe ser independiente del tiempo

F_{X(t)} (x) = F_{X(t+\tau)} (x) = F_X(x)

para todo t, τ, dicho de otra forma, sus resultados son constantes

m_{X}(t) = E[X(t)]=m VAR[X(t)] = E[(X(t)-m)^2] = \sigma ^2

Estacionario con cdf de 2do Orden

Un proceso aleatorio estacionario con cdf de segundo orden debe depender solo de la diferencia de tiempo entre muestras y NO en particular del tiempo de las muestras

F_{X(t_1),X(t_2)} (x_1,x_2) = F_{X(0),X(t_2-t_1)} (x_1,x_2)

para todo t₁, t₂

R_{X}(t_1,t_2) = R_{X} (t_2-t_1) C_{X}(t_1,t_2) = C_{X} (t_2-t_1)

Estacionario en el Sentido Amplio (WSS o débil)

 Un proceso aleatorio discreto o contínuo en el tiempo 
X(t) es estacionario en el sentido amplio (WSS) 
si satiface que: 

m_X(t) = m C_{X}(t_1,t_2) = C_{X} (t_2-t_1)

De forma semejante, los procesos X(t) y Y(t) son estacionarios conjuntos si ambos son estacionarios en el sentido amplio y si covarianza cruzada depende solo de t₁-t₂.

R_{X}(t_1,t_2) = R_{X} (\tau) C_{X}(t_1,t_2) = C_{X} (\tau)