s3Eva_IIT2017_T3 Autocorrelacion AM/PM

X(t) = A_1 \cos (\omega _0 t + \theta _1) + A_2 \cos (\sqrt{2}\omega_0 t + \theta _2)
Las variables aleatorias Θ son uniformes en [0,2π], por lo que sus funciones de densidad de probabilidad son iguales a:
f_{\theta _1} (\theta _1) = f_{\theta _2}(\theta _2) = \frac{1}{2\pi}

a) valor esperado:

E[X(t)] = E[A_1 \cos (\omega _0 t + \theta _1) + A_2 \cos (\sqrt{2}\omega_0 t + \theta _2) ] =E[A_1 \cos (\omega _0 t + \theta _1)] + E[A_2 \cos (\sqrt{2}\omega_0 t + \theta _2) ]

las variables A₁ y Θ₁ son independientes, de la misma forma A₂ y Θ₂, lo que permite separar: E[XY] = E[X][Y]

=E[A_1]E[\cos (\omega _0 t + \theta _1)] +E[A_2]E[\cos (\sqrt{2}\omega_0 t + \theta _2)]

y evaluar:

E[\cos (\omega _0 t + \theta _1)] = \int_{0}^{2\pi} \cos (\omega _0 t + \theta _1) \frac{1}{2\pi} d\theta _1 E[g(x)] = \int_{0}^{2\pi} g(x) f(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos (\omega _0 t + \theta _1) d\theta _1

que aplicando:

cos(x \pm y)= cos(x)cos(y) \mp sen(x)sen(y) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \Big[\cos (\omega _0 t) \cos(\theta _1) - \sin(\omega _0 t)\sin(\theta _1)\Big] d\theta _1 = \frac{1}{2\pi}\cos (\omega _0 t) \int_{0}^{2\pi} \cos(\theta _1) d\theta _1 - \frac{1}{2\pi}\sin(\omega _0 t) \int_{0}^{2\pi} \sin(\theta _1) d\theta _1 = \frac{1}{2\pi}\cos (\omega _0 t) \sin(\theta _1)\Big|_{0}^{2\pi} - \frac{1}{2\pi}\sin(\omega _0 t) [-\cos(\theta _1)] \Big|_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\cos (\omega _0 t) [\sin(2\pi)-sin(0)] + \frac{1}{2\pi}\sin(\omega _0 t) [\cos(2\pi) - \cos(0)] E[\cos (\omega _0 t + \theta _1)] = 0

por lo que, aplicando lo mismo para el siguiente término del integral del valor esperado, se obtiene que:

E[X(t)] = 0

---

b) Para el caso de autocorrelación se tiene que:

E[X(t_1)X(t_2)] =
= E\Big[ [A_1 \cos (\omega _0 t_1 + \theta _1) + A_2 \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_1 + \theta _2)] .

. [A_1 \cos (\omega _0 t_2 + \theta _1) + A_2 \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_2 + \theta _2)] \Big]

multiplicando término a término

= E[A_1^2 \cos (\omega _0 t_1 + \theta _1) \cos (\omega _0 t_2 + \theta _1)] + E[A_1 A_2 \cos (\omega _0 t_1 + \theta _1) \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_2 + \theta _2)] + E[A_2 A_1 \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_1 + \theta _2) \cos (\omega _0 t_2 + \theta _1)] + E[A_2^2 \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_1 + \theta _2) \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_2 + \theta _2)] =

recordando que, las variables A₁ y Θ₁ son independientes, de la misma forma A₂ y Θ₂, lo que permite separar: E[XY] = E[X][Y]

= E[A_1^2] E[\cos (\omega _0 t_1 + \theta _1) \cos (\omega _0 t_2 + \theta _1)] + E[A_1 A_2] E[\cos (\omega _0 t_1 + \theta _1) \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_2 + \theta _2)] + E[A_2 A_1] E[\cos (\sqrt{2}\omega_0 t_1 + \theta _2) \cos (\omega _0 t_2 + \theta _1)] + E[A_2^2] E[\cos (\sqrt{2}\omega_0 t_1 + \theta _2) \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_2 + \theta _2)] =

Se desarrolla para una parte del segundo término de la suma:
E[\cos (\omega _0 t_1 + \theta _1) \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_2 + \theta _2)] =

que siendo independiente Θ₁ y Θ₂ E[XY] = E[X][Y]

= E[\cos (\omega _0 t_1 + \theta _1)] E[\cos (\sqrt{2}\omega_0 t_2 + \theta _2)] = 0

cuyo primer término es cero, usando el resultado del literal a, y extendido el resultado para el segundo término, lo que reduce la expresión de la autocorrelación a:

E[X(t_1)X(t_2)] = = E[A_1^2] E[\cos (\omega _0 t_1 + \theta _1) \cos (\omega _0 t_2 + \theta _1)] + + E[A_2^2] E[\cos (\sqrt{2}\omega_0 t_1 + \theta _2) \cos (\sqrt{2}\omega_0 t_2 + \theta _2)]

para el primer término:

E[\cos (\omega _0 t_1 + \theta _1) \cos (\omega _0 t_2 + \theta _1)] = =\frac{1}{2}E\Big[\cos [(\omega _0 t_1 + \theta _1) - (\omega _0 t_2 + \theta _1)] + \cos [(\omega _0 t_1 + \theta _1) +(\omega _0 t_2 + \theta _1)\Big] =\frac{1}{2}E\Big[\cos (\omega _0 (t_1 - t_2)) + \cos (\omega _0 (t_1 + t_2) + 2 \theta _1)\Big] =\frac{1}{2}E\Big[\cos (\omega _0 (t_1 - t_2)) \Big] + E\Big[\cos (\omega _0 (t_1 + t_2) + 2 \theta _1)\Big]

del literal a, el segundo término se vuelve cero:

=\frac{1}{2}E[\cos (\omega _0 (t_1 - t_2)) ]

extendiendo el resultado para el segundo término de la autocorrelación:

E[X(t_1)X(t_2)] = \frac{1}{2} E\Big[A_1^2\Big] E\Big[\cos (\omega _0 (t_1 - t_2)) \Big] + + \frac{1}{2} E\Big[A_2^2\Big] E\Big[\cos (\sqrt{2}\omega _0 (t_1 - t_2)) \Big]

que se resume que la media es cero, constante, y que la autocorrelación depende solo de la diferencias de tiempo |t₁-t₂| = τ, por lo que el proceso se clasifica como estacionario en el sentido amplio WSS.

Recuerde que A₁ y A₂ son tipo Gaussianas, por lo que E[A₁²] es una constante.