Publicado en por Edison Del Rosario

Suma y Retraso de procesos estocásticos

Referencia: León García ejemplos 10.4 y 10.5 p58, Gubner Ejemplo 10.18 p396

Suma de dos procesos

Encuentre la densidad espectral de potencia de Z(t) = X(t) + Y(t), donde X(t) y Y(t) son procesos conjuntamente estacionarios en el sentido amplio WSS.

Solución

Autocorelación de Z(t) es

RZ(τ)=E[Z(t+τ)Z(t)]= R_Z(\tau) = E[Z(t + \tau )Z(t)] = =E[(X(t+τ)+Y(t+τ))(X(t)+Y(t))] = E[(X(t+ \tau)+ Y(t + \tau ))(X(t) + Y(t))] RZ(τ)=RX(τ)+RXY(τ)+RYX(τ)+RY(τ) R_Z(\tau) = R_X(\tau) + R_{XY}(\tau) +R_{YX}(\tau) + R_Y(\tau)

La densidad espectral de potencia se calcula como:

SZ(f)=Fourier{RX(τ)+RXY(τ)+RYX(τ)+RY(τ)} S_Z(f) = Fourier\{ R_X(\tau) + R_{XY}(\tau) +R_{YX}(\tau) + R_Y(\tau) \} SZ(f)=SX(f)+SXY(f)+SYX(f)+SY(f) S_Z(f) = S_X(f) + S_{XY}(f) +S_{YX}(f) + S_Y(f)

Referencia: León García Ejemplo 10.5 p.582, Gubner Ejemplo 10.18 p396

Retraso

Sea Y(t) = X(t- d), donde d es una constante de retraso y donde X(t) es estacionario en el sentido amplio WSS.
Encuentre RYX(τ), SYX(f), RY(τ) y SY(f)

Solución

Usando las definiciones se tiene que:

RYX(τ)=E[Y(t+τ)X(t)]= R_{YX}(\tau) = E[Y(t + \tau )X(t)] = =E[X(t+τ−d)X(t)]= = E[X(t + \tau - d)X(t)] = RYX(τ)=RX(τ−d) R_{YX}(\tau) = R_X (\tau - d)

que usando la propiedad de desplazamiento en tiempo de la transformada de Fourier:

SYX(f)=Fourier{RX(τ−d)}= S_{YX}(f) = Fourier\{ R_X(\tau - d) \} = =SX(f)e−j2πfd= = S_X(f) e^{-j2 \pi fd} = =SX(f)cos⁡(2πfd)−jSx(f)sin(2πfd) = S_X(f) \cos (2\pi fd) - jS_x(f) sin (2 \pi fd)

Finalmente.

RY(τ)=E[Y(t+τ)Y(t)]= R_Y(\tau) = E[Y(t + \tau)Y(t)] = =E[X(t+τ−d)X(t−d)]=RX(τ) = E[X(t + \tau - d)X(t - d)] = R_X(\tau) SY(f)=Fourier{RY(τ)}=Fourier{RX(τ)}= S_Y(f) = Fourier\{ R_Y(\tau) \} = Fourier\{ R_X(\tau) \} = SY(f)=SX(f) S_Y(f) = S_X(f)

Note que la densidad espectral de potencia crusada es compleka, y que SX(f) = SY (f) sin importar el hecho que X(t) ≠ Y(t). Entonces SX(f) = SY(f) lo que no implica que X(t) = Y(t)