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1Eva_IT2017_T4 Portabilidad numérica

1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017

Portabilidad Numérica

Tema 4 (30 puntos). La portabilidad numérica para redes de telefonía móvil es una funcionalidad que permite que un abonado pueda conservar su número telefónico cuando decide cambiar de operador de red [1].

En Ecuador la portabilidad numérica es posible desde el final del año 2009 y de acuerdo al Ministerio de Telecomunicaciones, con esta iniciativa se garantiza el derecho de los usuarios, se estimula la competencia e innovación y se incentiva a que las operadoras evolucionen rápidamente y creen nuevos servicios, beneficiando a sus suscriptores [2].

Según los datos de Agencia de Regulación y Control de las Telecomunicaciones (ARCOTEL), durante los primeros 6 años de vigencia 1’351.989 usuarios del servicio móvil avanzado (SMA) ejercieron su derecho a la portabilidad numérica.

  • Desde la operadora ROJA dejaron el servicio 602.952 usuarios, 536.157 se cambiaron a VERDE y 66.795 a AZUL.
  • Mientras que salieron de la operadora VERDE 712.236 usuarios, 639.587 se cambiaron a ROJA y 72.649 a AZUL.
  • Desde la operadora AZUL dejaron de utilizar su servicio 36.801 líneas, 19.471 migraron a ROJA y 17.330 a VERDE.

En el año 2015 se registraron 13,8 millones de abonados de telefonía móvil, la participación de la operadora ROJA fue de 62,5%, le sigue VERDE con un 29% y AZUL de 8,5%. [3].

Suponga que los datos corresponden al final del año, tampoco considere las líneas que fueron anuladas por inactividad, como fue dispuesto en ese año por el organismo regulador.

Considerando todos los datos como un solo periodo y que la portabilidad de abonados supone un comportamiento aleatorio similar e independiente en cada periodo aproximado a un modelo tipo Markov, desarrolle las siguientes preguntas:

a) Determine y escriba los estados
b) Realice el diagrama de transición de estados
c) Usando los datos del enunciado, determine las probabilidades de cambio de operadora y ubíquelas en el diagrama de transición de estados.
d) Realice la matriz de transición equivalente

En adelante, para el ejercicio suponga que el resultado anterior es aplicable en varios periodos.

e) Suponga que observa un abonado de la operadora ROJA:

  1. Determine la probabilidad que en el siguiente periodo sea abonado de VERDE.
  2. Luego el cliente del numeral anterior al segundo periodo decida cambiarse a la operadora AZUL
  3. Para otro abonado de la operadora ROJA, determine la probabilidad que luego de tres periodos no termine en la operadora VERDE.

f) Determine las probabilidades de transición a largo plazo.
g) Para cada uno de los valores encontrados en el literal anterior, con sus palabras describa en una línea el significado referenciado al problema.

Rúbrica: literal a y b (8 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (4 puntos), literal f y g (8 puntos).

Referencias:
[1] http://www.arcotel.gob.ec/wp-content/uploads/2015/01/Portabilidad-Numerica-MOD.pdf
[2] http://www.eltelegrafo.com.ec/noticias/economia/8/13-millones-de-usuarios-de-la-telefonia-movil-cambiaron-de-operadora
[3] http://www.elcomercio.com/actualidad/ecuador-lineas-telefoniacelular-arcotel.html

 

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1Eva_IT2017_T2 Cadena de Markov desde diagrama

1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017

Cadena de Markov desde un diagrama de transición de estados

Tema 2 (20 puntos). Considere la siguiente cadena de Markov con estados finitos:

a) Identifique los estados transientes

b) Identifique las clases de los estados recurrentes

c) Para cada clase recurrente, encuentre la probabilidad de estado estable \pi_i . Desarrolle paso a paso.

d) Encuentre las probabilidades de transición para n pasos P_{ij}^{n} como una función de n. Con sus palabras describa cada una (no requiere ecuaciones).

1. P_{44}^n

2. P_{45}^n

3. P_{41}^n

4. P_{43}^n + P_{42}^n

5. \lim_{n \rightarrow \infty} P_{43}^n


Referencia: Chun Tung Chou. COMP9334 Capacity Planning of Computer Systems and Networks. Quiz 2011
Rúbrica: literal a y b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (10 puntos

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s1Eva_IT2017_T1 Cadena de Markov desde matriz

1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017

Tema 1
Cadena de Markov, desarrollo a partir de la matriz

\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 9/10 & 0 & 1/10 & 0 \\ 0 & 1/10& 0 & 9/10\\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

Diagrama de Estados de transición:

Resolución planteando las ecuaciones

π0 = (1/2)π0 + (9/10)π1
π1 = (1/2)π0 + (1/10)π2
π2 = (1/10)π1 + (1/2)π3
π3 = (9/10)π2 + (1/2)π3
π0 + π1 + π2 + π3 = 1

usando ecuacion (1)
π0 -(1/2)π0 = (9/10)π1
(1/2)π0  = (9/10)π1
π1 = (5/9)π0

usando ecuacion(2)
(5/9)π0 = (1/2)π0 + (1/10)π2
(5/9)π0 - (1/2)π0 = (1/10)π2
[(10 - 9)/18] π0 = (1/10)π2
[1/18] π0 = (1/10)π2
π2 = (10/18) π0
π2 = (5/9) π0

usando ecuacion (3)
(5/9) π0 = (1/10)(5/9)π0 + (1/2)π3
(5/9) π0 - (1/10)(5/9)π0 = (1/2)π3
(1-1/10)(5/9) π0 = (1/2)π3
(9/10)(5/9) π0 = (1/2)π3
(1/2) π0 = (1/2)π3
π3 = π0

usando la ecuación (5)
π0 + (5/9)π0 + (5/9) π0 +  π0 = 1
(1 + 5/9 + 5/9 + 1) π0 = 1
(2 + 10/9) π0 = 1
(28/9) π0 = 1
π0 = (9/28)

π1 = (5/9)(9/28) = 5/28
π2 = 5/28
π3 = 9/28

resolución usando numpy de python

# Tema 1. matriz de transición
import numpy as np

p=np.array([
    [ 1/2, 1/2,   0,   0],
    [9/10,   0,1/10,   0],
    [   0,1/10,   0,9/10],
    [   0,   0, 1/2, 1/2]
    ])
n=200
pn=np.linalg.matrix_power(p,n)
print(pn)

# Resolviendo por matrices A= AT-I) y el vector de ceros terminado en 1
k=len(p)
A=p.transpose()
A=A-np.identity(k, dtype=int)
# la última fila se sustituye por la suma de probabilidades
A[-1,:]=np.ones(k,dtype=int)
B=np.zeros(k,dtype=int)
B[-1]=1  # el último
Pncalc=np.linalg.solve(A,B)
print('largo plazo')
print(Pncalc)

[[ 0.32142907  0.17857167  0.17857119  0.32142808]
 [ 0.321429    0.17857164  0.17857122  0.32142814]
 [ 0.32142814  0.17857122  0.17857164  0.321429  ]
 [ 0.32142808  0.17857119  0.17857167  0.32142907]]
largo plazo
[ 0.32142857  0.17857143  0.17857143  0.32142857]

verificando que las fracciones sean los valores encontrados por python:

print(5/28)

0.17857142857142858
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1Eva_IT2017_T1 Cadena de Markov desde matriz

1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017

Tema 1 (20 puntos). Dibuje el diagrama de transición de estados y encuentre la distribución (estacionaria) de la cadena de Markov cuya matriz de transición es:

\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 9/10 & 0 & 1/10 & 0 \\ 0 & 1/10& 0 & 9/10\\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

Nota: Realice el desarrollo paso a paso, planteando las ecuaciones.

Referencia: Prob.12.8. Gubner, J. A. (2006). Probability and random processes for electrical and computer engineers. Cambridge University Press.

Rúbrica: diagrama (5 puntos), desarrollo paso a paso (10 puntos), resultados (5 puntos)

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1Eva_IT2010_T3 Migración urbana, rural, suburbana

Para efectos de una investigación, en un determinado país, una familia puede clasificarse como habitante de zona urbana, rural o suburbana.

Se ha estimado que durante un año cualquiera, el 15% de todas las familias urbanas se cambian a zona suburbana y el 5% a zona rural.

El 6% de las familias suburbanas pasan a zona urbana y el 4% a zona rural.
El 4% de las familias rurales pasan a zona urbana y el 6% a zona suburbana.

a) Defina los estados de este proceso estocástico y escriba la matriz de transición.
Suponga que al inicio de la investigación, el 35% de la población vivía en áreas urbanas, el 45% en áreas suburbanas y el resto en el área rural.

b) Si inicialmente una familia vive en un área rural, cu´al es la probabilidad de que 3 años después esta familia viva en área urbana?.

c) (Probabilidad de un camino). Cuál es la probabilidad que una familia viva en el área urbana y que además en el siguiente año viva en el área suburbana y además luego de eso al siguiente año viva en el área rural.

d) Cuál es la probabilidad de que 3 años después de iniciada la investigación una familia viva en el área urbana?.

Referencia: FCNM/ICM01420

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1Eva_IT2010_T2 Jugador con 2 monedas

Tema 2. (Random Walk) Un jugador comienza con $2 en el bolsillo y participa en un juego donde apuesta $1 dólar. 

Gana con probabilidad p y pierde el juego con probabilidad (1−p) = q.

Su meta es aumentar su capital hasta $4 y tan pronto lo logre se saldrá del juego a no ser que caiga en la ruina, es decir que su capital sea $0.

a) Defina los estados de este proceso estocástico y escriba la matriz de transición.

b) Dibuje el diagrama de transición de estados.

c) Escriba las clases de equivalencia (relación de equivalencia $) y los
estados absorbentes, transitorios y recurrentes del proceso cuando
0 < p < 1.

d) Escriba las clases de equivalencia cuando p = 0 e indique cuáles de
estas clases son cerradas y cuáles estados son absorbentes.

Referencia: FCNM/ICM01420

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1Eva_IT2010_T1 Urnas de Ehrenfest

Tema 1. (Urnas de Ehrenfest) Se tienen dos urnas, con 5 bolas repartidas dentro de ellas, y en cada etapa se escoge una bola al azar y se cambia de urna.

La cadena Xn representa el número de bolas de una de las urnas tras n etapas.

Escriba la matriz de transición de un paso de esta cadena de Markov.

Referencia: FCNM/ICM01420

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1Eva_IIT2009_T2 Bebidas gaseosas

Tema 2. Suponga que toda la industria de refresco produce solo dos bebidas gaseosas:  ROJA y AZUL. 
Cuando una persona ha comprado ROJA hay una probabilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente.
Si una persona compró AZUL, hay 80% de que repita la vez siguiente.

Se pide:

a) Si una persona actualmente es comprador de AZUL. ¿Cuál es la probabilidad de que compre ROJA pasadas dos compras a partir de hoy?

b) Si en la actualidad una persona es comprador de ROJA. ¿Cuál es la probabilidad de que compre ROJA pasadas tres compras a partir de ahora?

c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy ROJA y el 40% AZUL. A tres compras a partir de ahora, ¿Qué fracción de los compradores estará tomando ROJA?. (utilice probabilidad total)

d) Determinar las probabilidades de estado estable.

Referencia: FCNM/ICM01420