Referencia: Gubner 2.4 p83 , Ross 2.4.3 p42, León-García 3.3.1 p.107
Dada una variable aleatoria X, se puede definir una nueva variable aleatoria Z = g(X), donde g(x) es una función de valor real de la variable real x.
Para calcular E[Z] se puede proceder como:
E[g(X)] = \sum_i g(x_i) p_X(x_i) E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dxdado que la fórmula es mas fácil de usar que encontrar la pmf de Z, la formula se la conoce como la «ley del estadístico inconsciente» o LOTUS (Law Of The Unconscious Statistician).
Una aplicación simple es :
E[aX] = \sum_i ax_i p_X(x_i) = = a \sum_i x_i p_X(x_i) = a E[X]Ejemplo
Referencia: León- García 3.17 p107
Sea X el ruido en el voltaje que está uniformemente distribuido en SX = {-3,-1,+1,+3} con pX (k) = 1/4 para k en SX. Encuentre E[Z] donde Z=X2.
Solución: Se busca primero encontrar la pmf (probability mass function) de Z, el SZ ={9,1,1,9} = {1,9}, por lo que:
pZ(9) = P[X ∈ {-3,+3}] = pX(-3) + pX(3) = 1/4 + 1/4 = 1/2 pZ(1) = pX(-1) + pX(1) = = 1/4 + 1/4 = 1/2 entonces: E[Z] = 1(1/2) + 9(1/2) = 5
usando la fórmula para E[Z]:
E[Z] = E[g(X)] = \sum_i g(x_i)p_X(x_i) = \sum_i i^2 p_X(x_i) = \frac{1}{4} [(-3)^2 + (-1)^2+1^2+2^2] = = \frac{20}{4} = 5con lo que se obtuvo el mismo resultado.
Ross Corolario 2.2. Siendo a y b constantes, entonces:
E[aX + b] = aE[X] +b