2. Valor Esperado E[x] a partir de pmf

Referencia: León-García p.104, Gubner p.80,

Para describir el comportamiento de una variable aleatoria discreta a partir de su  funciones de distribución de probabilidad (pmf, probability mass function), para simplificar en un solo valor, se usa el valor esperado o media.

El valor esperado o media de una variable aleatoria discreta X se define como:

m_x = E[X] = \sum\limits_{x \in S_x} x p_x(x) = = \sum\limits_{k} x_k p_x(x_k)

El valor esperado E[X] está definido si la suma anterior absolutamente converge , es decir:

E[|X|] = \sum\limits_{k} |x_k| p_x(x_k) < \infty

Ejemplo

De repetir un experimento 150 veces, se obtienen dos variables aleatorias.

  • La variable Y tiene valores alrededor de 0,
  • mientras que la variable X tiene valores alrededor de 6 .
  • También observe que X tiene mayor variación que Y.

Siendo px(x) la función de distribución de probabilidad de los puntos x1, x2, … , entonces E[x] representa el centro de masa de la distribución.

Ejemplo: Media de una variable aleatoria tipo Bernoulli

(Ejemplo 3.11) Encuentre el valor de la variable aleatoria IA:

E[I_A] = 0p_i(0) + 1p_1(1) = p

donde p es la probabilidad de éxito de una prueba Bernoulli.

Ejemplo: Tres lanzamientos de una moneda y la variable aleatoria Binomial

(Ejemplo 3.12)Sea X el número de caras en tres lanzamientos de una moneda, Encuentre E[X]

E[X] = \sum \limits_{k=0}^{3} k p_x(k)

las probabilidades de que salgan 0 caras es 1/8, 1 cara es 3/8, 2 caras 3/8 y 3 caras 1/8, resultados obtenidos en el ejemplo 3.5 del libro

= 0 \big( \frac{1}{8} \big) + 1 \big(\frac{3}{8} \big) + 2\big(\frac{3}{8} \big) + 3\big(\frac{1}{8} \big) = \frac{12}{8} =1.5

Ejemplo: Media de una variable aleatoria uniforme

Se conoce que px(j) = 1/M, para j=0, … , M-1, entonces:

E[X] = \sum \limits_{k=0}^{M-1} k \frac{1}{M} =\frac{1}{M}[ { 0 + 1 + 2 + ... + M-1}] = \frac{(M-1)M}{2M} = \frac{M-1}{2}

El término de «valor esperado» no quiere decir que esperamos observar E[X] cuando se ejecuta un experimento que genera X.

Por ejemplo, el valor esperado de un intento Bernoulli es p, pero sus resultados siempre son 0 ó 1.

E[X] corresponde al «promedio de X» en un gran número de observaciones de X.

El promedio aritmético o media muestral de las observaciones cuando el número de muestras n tiende a ser grande converge al valor esperado:

\langle X\rangle_n = \sum\limits_{k} x_k f_k(n) \rightarrow \rightarrow \sum\limits_{k} x_k p_x (x_k) = E[x]

Instrucciones en Python

Para generar valores aleatorios con media y escala conocida se puede usar la función stats.norm.rvs(media, escala, muestras, obteniendo algunos valores como:

px: 
[-1  0 -1 -2  3  0 -1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  1  1 -1  0  0 -1  0  0
  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0
...]
py: 
[ 8  4  6  6  2  5  2  3  6  6  7  6  4  5  2  6  4  4  6  7  7  4  4  5
  5  4  4  3  2  9  5  8  5  6  7  2  4  1  1  6  5  7  6  7  4  7  9  5
...]
# Valor Esperado E[x] a partir de pmf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats

# INGRESO
n = 150

media_x = 0
escala_x = 1

media_y = 6
escala_y = 2

# PROCEDIMIENTO
px = stats.norm.rvs(media_x,escala_x,size=n)
px = np.array(px,dtype=int)
py = stats.norm.rvs(media_y,escala_y,size=n)
py = np.array(py,dtype=int)

# SALIDA
print('px: ')
print(px)
print('py: ')
print(py)
# grafica
plt.title(' aleatorios X y Y')
plt.plot(px, 'o-', label='x')
plt.plot(py, '*-', label='y')
plt.xlabel('intentos')
plt.axhline(media_x)
plt.axhline(media_y)
plt.legend()
plt.show()