Variables Aleatorias Discretas – Procesos Estocásticos

Referencia: León-García 3.5 Important Discrete Random Variables p115

[Bernoulli] [Binomial] [Geométrica] [Binomial Negativa] [Poisson] [Uniforme] [Zipf]

Bernoulli

S_X=\{0, 1 \}

p_0 = q = 1-p

p_1=p, 0 \leq p \leq 1

E[X] = p

VAR[x] = p(1-p)

G_X(z)=(q+pz)

Nota: La variable aleatoria Bernoulli es es valor de la función indicador I_A para algún evento; X=1 si ocurre A, y 0 en otro caso

Binomial

S_X=\{0, 1, ... , n \}

p_k={n \choose k} p^{k} (1-p)^{n-k}

k = 0, 1, ... , n

E[X]= np

VAR[X] = np(1-p)

G_X(z)= (q + pz)^{n}

Nota: X es el numero de éxtidos en n intentos Bernoulli y por consiguiente la suma de n iid variables aleatorias Bernoulli.

Geométrica

Versión 1:

S_X=\{0, 1, 2, ... \}

p_k = p(1-p)^{k}

k= 0, 1, , ...

E[X] =\frac{1-p}{p}

VAR[X] = \frac{1-p}{p^2}

G_X(z) = \frac{p}{1-qz}

Nota: X es el número de fallas antes del primer éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes. La variable aleatoria geométrica es la única una variable aleatoria con propiedad «sin memoria».

Versión 2:

S_X'=\{ 1, 2, ... \}

p_k = p(1-p)^{k-1}

k= 1, 2, ...

E[X'] =\frac{1}{p}

VAR[X'] = \frac{1-p}{p^2}

G_{X'}(z) = \frac{pz}{1-qz}

Nota: X’= X+1 es el número de intentos hasta primer éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes.

Binomial Negativa

S_X=\{ r, r+1, ... \}

, donde r es un entero positivo

p_k = {{k-1} \choose {r-1}} p^{r}(1-p)^{k-r}

k = r, r+1, ...

E[x] = \frac{r}{p}

VAR[X] = \frac{r(1-p)}{p^2}

G_X(z) = \left( \frac{pz}{1-qz}\right)^{r}

Nota: X es el número de intentos hasta el r-ésimo éxito en una secuencia de intentos Bernoulli independientes

Poisson

S_X=\{0, 1, 2, ... \}

p_k = \frac{\alpha ^{k}}{k!} e^{-\alpha}

k = 0, 1, ... \text{ y } \alpha>0

E[X] = \alpha

VAR[X] = \alpha

G_X(z) = e^{\alpha(z-1)}

Nota: X es el número de eventos que ocurren en una unidad de tiempo cuando el tiempo entre eventos es distribuido exponencialmente con media 1/α.

Uniforme

S_X=\{1, 2, ..., L \}

p_k = \frac{1}{L}

k = 1, 2, ... , L

E[X] = \frac{L+1}{2}

VAR[X] = \frac{L^2 -1}{12}

G_X(z) = \frac{z}{L} \frac{1- z^L}{1-z}

Nota: La variable aleatoria uniforme sus resultados son igualmente probables. Juega un rol importante en la generación de números aleatorios

Zipf

S_X=\{1, 2, ..., L \}

, donde L es un entero positivo

p_k = \frac{1}{c_L} \frac{1}{k}

k = 1, 2, ... , L

donde c_L esta dado por:

c_L = \sum_{j=1}^{L} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{L}

E[X] =\frac{L}{c_L}

VAR[X] = \frac{L(L+1)}{2C_L} - \frac{L^2}{c_L ^2}

Nota: La variable aleatoria Zipf tiene la propiedad que algunos resultados ocurren frecuentemente, pero muchos resultados suceden muy poco

[Bernoulli] [Binomial] [Geométrica] [Binomial Negativa] [Poisson] [Uniforme] [Zipf]