Publicado en por Edison Del Rosario

Varianza v.a. Continuas

Referencia: Ross 2.4.3 p43, Gubner 2.4 p84,p150, León-García 4.3.2 p 160

Varianza de variables aleatorias contínuas

el n-ésimo momento, n≥1 de una varial aleatoria X se define como E[Xn].

en el caso continuo.

E[Xn]=∫−∞∞xnf(x)δx E[X^n] = \int_{-\infty}^{\infty} x^n f(x) \delta x

El primer momento es la media, E[X].

La varianza σ2 de X se define como:

VAR[X]=E[(X−E[X])2] \text{VAR}[X] = E[(X-E[X])^2]

La varianza de X mide el promedio al cuadrado de la desviación de X del valor esperado.

Algunas propiedade de la varianza, siendo c una constante:

VAR[c]=0 \text{VAR}[c]=0 VAR[X+c]=VAR[X] \text{VAR}[X + c] = \text{VAR}[X] VAR[cX]=c2VAR[X] \text{VAR}[cX] = c^2 \text{VAR}[X]

Ejemplo

Encuentre la media y varianza de una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad pdf tipo exponencial eλ:

Solucion: dado que VAR[X]= E[x2] – (E[X])2, se calculan los dos momentos de X:

E[Xn]=∫0∞xnλe−λxδx E[X^n] = \int_{0}^{\infty} x^{n} \lambda e^{-\lambda x} \delta x

con cambio de variable y=λx, dy = λdx se tiene que:

E[Xn]=∫0∞(yλ)ne−yδy E[X^n] = \int_{0}^{\infty} \big( \frac{y}{\lambda} \big) ^{n} e^{-y} \delta y =1λn∫0∞yne−yδy = \frac{1}{\lambda ^n }\int_{0}^{\infty} y^{n} e^{-y} \delta y

si u=yn y dv=e-y dx, entonces du=nyn-1 dx, v = -e-y,
para n=1 el resultado es 1, para n=2 el resultado es 2×1, y para n=3 el resultado es 3x2x1, por lo que el resultado general es n!

E[Xn]=n!λn E[X^n] = \frac{n!}{\lambda ^n }

la varianza será:

VAR[X]=E[X2]−(E[X])2=2λ2−(1λ)2=1λ2 \text{VAR}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{\lambda ^2} - \big(\frac{1}{\lambda}\big)^2 = \frac{1}{\lambda ^2}